Длительность переходного процесса
Теоретически 
затухает бесконечно долго 
.
Практически считается, что переходный процесс заканчивается за четыре постоянных времени 
(4 ), 
.
При времени 
: 
.
Через время равное 
:
Рис 1.25
|
Свободная функция через время равное 
составляет 1.8% от первоначального значения, т.е. уменьшается в 
.
Определяемая ею переходная функция, будет составлять 
от установившейся величины.
Поэтому считают, что время переходного процесса равно: 
.
5.В цепи порядка 
постоянные времени различны для каждой экспоненты. Длительность переходного процесса оценивается по наибольшей постоянной времени. Для комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения 
постоянная времени определяется по действительной их части 
.
Переходный процесс в цепи первого порядка
1.Если цепь описывается уравнением первого порядка, то свободная составляющая имеет одну слагаемую экспоненту, и полное решение:
Для определения единственной постоянной интегрирования нужны только начальные значения функций 
.
2.Определим постоянную интегрирования в общем виде.Для этого в решение 
подставим начальные условия 
:
,
отсюда следует, что:
.
Постоянная интегрирования для любой функции в цепи первого порядка равна начальному значению ее свободной составляющей.
Можно записать:
.
3.Содержание расчета переходного процесса в цепи первого порядка.
Для составления решения рассматривается ряд задач, в результате чего определяются все компоненты искомой функции.
 Рис.1.26
|
4.Для иллюстрации характера переходного процесса в цепи первого порядка рассмотрим два элементарных примера с одноконтурными схемами при постоянном и синусоидальном источниках.
Пример 1: Включение 
цепи на постоянное напряжение 
.
Конденсатор предварительно зарядим до напряжения 
.
Рис. 1.27
|
СУР: 
; 
; 
.
НУ: 
; 
.
НУР: 
; 
; 
.
ПИ: 
.
Характеристическое уравнение и его корень:
; 
.
Полное решение для напряжения 
:
.
Ток 
из дифференциальной связи :
.
Анализ решения: Деформация процесса в зависимости от начальных условий (рис. 1.28).
Рис. 1.28
|
Рис. 1.29
|
В цепи с постоянными источниками 
, а для 
- экспонента. Значит, переходная функция 
представляет собой кривую, которая от значения 
монотонно и асимптотически приближается к новому установившемуся режиму 
. Это обстоятельство позволяет качественно представить переходный процесс, для чего необходимо рассчитать только старый установившийся режим, начальные условия и новый установившийся режим (рис. 1.29).
Пример 2: Включение нагрузки 
на синусоидальное напряжение.
Рис. 1.30
|
СУР: 
; 
; 
.
НУ: 
; 
.
НУР: 
;
.
ПИ: 
.
Характеристическое уравнение и его корень: 
; 
.
Полное решение:
Напряжение на индуктивности 
найдем из дифференциальной связи:
Анализ решения: Деформация процесса в зависимости от момента включения источника и соотношения параметров.
Рис. 1.31
|
На синусоидальный ток нового установившегося режима накладывается свободная экспонента (рис. 1.31), начальное значение которой 
определяется двумя независящими друг от друга факторами. С одной стороны это начальная фаза 
, зависящая от момента включения. Это случайный фактор. С другой стороны это угол сдвига фаз 
нового установившегося режима, зависящим от соотношения параметров схемы. Теми же параметрами определяется и постоянная времени 
, от которой зависит скорость установления принужденного режима. В какие-то моменты максимальное значение тока может превышать амплитуду 
. Его называют ударным значением 
.
Два крайних случая (рис. 1.32).
В одном крайнем случае, когда 
и 
, постоянная интегрирования превращается в нуль, переходный процесс будет отсутствовать и сразу после включения наступит новый установившийся режим: 
.
На левом рисунке сохранены параметры, угол сдвига остался тем же, что и в первом варианте, где рассматривался общий случай. Изменен только момент включения.
На правом рисунке представлен вариант, приближенный к другому крайнему случаю. Соотношение параметров таково, что
угол 
приближен к 
, что затягивает затухание свободной функции вследствие увеличения постоянной времени 
. Момент включения подобран так, чтобы 
и 
. Тогда максимально возможное начальное значение свободной функции за полпериода практически не затухает и ударное значение тока 
приближается к двойному амплитудному значению. Таким образом: 
.
Среднестатистическое отношение 
наблюдается в пределах от 1,3 в низковольтовых до 1,8 в высоковольтовых цепях.
Рис. 1.32
|
5.Далее изложенный материал иллюстрируется решением нескольких задач по расчету переходного процесса в цепи первого порядка.
Примеры решения задач в цепи
Первого порядка.
Задача 1. Цепь с постоянным источником ЭДС (рис.1.33).
Рис. 1.33
|
( В ); 
( Г );
( Ом ); 
( Ом ).
Определить мгновенные значения токов, напряжение на катушке и сопротивлении 
.
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
Источник отключен: 
; 
.
В конце СУР: 
; 
; 
; 
.
2. Зафиксируем ННУ: 
.
3. Определим ЗНУ: по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь в расчетной схеме для 
(рис. 1.34):
Рис. 1.34
|
;
;
4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.35):
Рис. 1.35
|
как напряжение короткого замыкания;
;
;
Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины 
.
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень:
Рис. 1.36
|
;
;
.
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
(с), 
(с).
Рис. 1.37
|
6. Определим постоянные интегрирования:
.
7. Запишем общее решение в виде:
.
Расчет сведем в таблицу:
| СУР | НУ | НУР | ПИ | ПФ | |
| 0 | 4 | 6 | -2 | 
|
| 0 | 4 | 0 | 4 | 
|
| 0 | 0 | 6 | -6 | 
|
| 0 | 2 | 0 | 2 | 
|
Определим напряжение
на сопротивлении :
.
8. Построим графики рассматриваемых функций (рис. 1.37)
Задача 2. Переходный процесс в цепи с постоянным источником ЭДС при изменении параметров схемы (рис. 1.38).
Рис. 1.38
|
Условие:
( В ); 
( Ом ); 
( Ом ), 
( мкФ ).
Определить функции изменения токов
и напряжения на конденсаторе.
Решение:
Рис. 1.39
|
1. Рассмотрим СУР постоянного тока и конечные значения функций.
Нижнее сопротивление 
шунтировано ключом, емкость разрывает цепь постоянного тока.
;
;
.
2. Зафиксируем ННУ: 
.
Рис. 1.40
|
3. Определим ЗНУ по схеме замещения для (рис. 1.40).
Система уравнений не связана, и каждое решение находится для отдельно взятого уравнения:
;
; 
.
4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.41):
Рис. 1.41
|
;
.
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 42):
Рис. 1.42
|
; 
; 
.
Решая уравнение, нашли: 
,
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
( с ), 
( мс ).
6. Определим постоянные интегрирования:
Рис. 1.43
|
В общем виде:
.
Для конкретных функций:
;
.
.
7. Переменные функции:
.
Решение сведем в таблицу:
| СУР | НУ | НУР | ПИ | ПФ | |
|
| 6 | 3 | 4 | −1 | 
|
|
| 0 | 3 | 0 | −3 | 
|
|
| 6 | 6 | 4 | 2 | 
|
| 6 | 6 | 4 | 2 |
|
8. Обратим внимание на начальную скорость изменения нарастания напряжения 
.
Если 
, то 
.
Значит, скоротечны электромагнитные переходные процессы.
Рис. 1.44
|
Задача 3. Цепь первого порядка со схемой замещения реального постоянного источника напряжения. Анализ работы источника по его вольтамперной характеристике (рис. 1.44).
Условие:
( В ); 
( Ом ); 
( Ом ); 
( Ом ); 
( мкФ ).
Рассчитать все переходные функции.
Решение:
1. Рассмотрим СУР постоянного тока и конечные значения функций. Ключ «К» разомкнут, емкость не пропускает постоянный ток: ; 
; 
.
2. Зафиксируем ННУ: 
.
3. Определим ЗНУ по схеме замещения для методом узловых потенциалов (рис. 1.45).
Рис. 1.45
|
,
→ 
.
; 
;
; 
.
4. Рассчитаем НУР постоянного тока:
; 
;
; 
.
Начальные значения принужденных составляющих − те же самые величины .
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 46):
Рис. 1.46
|
; ;
.
Решая уравнение, нашли: 
,
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
(с); 
(мс).
6. Определим постоянные интегрирования:
В общем виде: .
7. Переменные функции:
.
Решение сведем в таблицу. Так же построим графики рассматриваемых функций (рис. 1.47).
В момент коммутации, как видно на графике 
(см. рис. 1.46), напряжение 
на полюсах ав источника моментально падает до величины его ЭДС (В) и 
(В), а режим работы источника по его вольтамперной характеристике мгновенно из точки, помеченной как 
, мгновенно перемещается в точку, помеченную как 
. Затем, за время всего переходного процесса режим работы сползает к точке, помеченной как 
до принужденных значений 
(В) и 
(А).
Конденсатор во время переходного процесса разряжается отрицательным током 
от начального 
(В) до установившегося напряжения 
(В).
На графиках представлена полная картина переходного процесса. Здесь прослеживаются все уравнения цепи:
Нагрузка 
подключается непосредственно к полюсам источника. Поэтому напряжения и 
во время переходного процесса совмещены.
Рис. 1.47
|
Задача 4. Переходный процесс в цепи первого порядка с двумя емкостями и с постоянным источником питания (рис. 1.48).
Рис. 1.48
|
Условие:
( В ); 
( Ом ); 
( мкФ ), 
( мкФ ).
Определить функции изменения токов
и напряжения на конденсаторах.
Решение:
1. В старом установившемся режиме (рис. 1.49) цепь представляет собой
Рис. 1.49
|
электростатическую систему. Нужно разделить напряжение источника между двумя последовательно соединенными емкостями. Объединенные прокладки последовательных конденсаторов имеют один общий заряд 
, то есть 
. Значит: 
.
Из второго уравнения Кирхгофа:
,
,
Следовательно:
.
2. Зафиксируем ННУ: 
.
.
3. Определим ЗНУ. По схеме замещения для момента времени
Рис. 1.50
|
(рис. 1.50) из-за идеализации источника питания не позволяет определить начальные значения токов 
и 
. Но можно рассчитать ток в третьей ветви:
.
Значит, постоянные интегрирования будем находить только для трех функций: 
, 
и 
.
4. Рассчитаем НУР постоянного тока (рис. 1.51):
Рис. 1.51
|
;
;
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис.1. 52):
Рис. 1.52
|
;
.
Решая уравнение, нашли:
.
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
, 
(мс).
Рис. 1.53
|
6. Определим постоянные интегрирования:
В общем виде:
.
Для конкретных функций:
;
7. Переходные функции:
.
Решение сведем в таблицу:
| СУР | НУ | НУР | ПИ | ПФ | |
| 0 | 0 | 0 | −1 | 
|
| 12 | 12 | 16 | −3 | 
|
| 4 | 4 | 0 | 2 |
|
Токи в емкостях найдем из дифференциальных зависимостей;
.
Для токов и напряжения наблюдается только свободный процесс.
8. Графики переходных функций (рис.1.53).
9. Другой вариант коммутации в этой же схеме (рис. 1.54):
Рис.1.54
|
Просмотрим бегло все позиции расчета переходного процесса.
1) СУР и ННУ:
; 
;
.
2) НУР – такой же, как и старый.
Значит:
, 
.
3) Характеристическое уравнение то же
самое, что и в первом варианте.
4) Переходные функции:
,
,
.
В цепи не будет переходного процесса. Это предсказуемый результат. Незаряженный конденсатор 
подключается на нулевое напряжение. Очевидно, что ничего не произойдет.
10. Еще один вариант коммутации в заданной схеме (рис.1.55):
Рис.1.55
|
Емкостный контур, как и в первом варианте задачи, понизит порядок дифференциального уравнения до первого. Но в силу физических законов коммутации источник не в состоянии мгновенно поделить своё напряжение между емкостями левого контура, что делает предположение о мгновенной коммутации некорректным. Это небольшой аванс читателю. Расчет переходных процессов в цепях с некорректной коммутацией рассмотрим в следующей главе.
Задача 5. Цепь с синусоидальным источником ЭДС (рис.1.56).
Рис. 1.56
|
Условия:
(А);
(Ом); 
(Ом);
(мкФ).
Определить закон изменения тока 
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
,
,
,
,
,
В конце СУР: ; 
.
2. Зафиксируем ННУ: 
.
3. Определим ЗНУ для искомого тока по схеме замещения (рис. 1.55) для .
Начальные значения источника тока:
.
В схеме один независимый контур. Для расчета выбираем метод контурных токов (одно уравнение для контура ( I )). Ток во второй ветви формируется только одним контурным током: 
. Второй контурный ток задается только источником тока: 
. Контурная ЭДС формируется только одним источником: 
:
Рис. 1.57
|
.
Откуда имеем:
.
С учетом этого уравнения запишем так:
,
или:
.
4. Рассчитаем НУР синусоидального тока и принужденную составляющую искомой функции:
;
Начальные значение принужденной составляющей:
.
Период: 
.
5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корень (рис. 1. 58):
Рис. 1.58
|
,
,
Решая уравнение, нашли: 
.
Постоянная времени и длительность переходного процесса равна:
(с), 
(с).
Переходный процесс практически заканчивается за время одного периода.
6. Определим постоянные интегрирования:
В общем виде: .
Следовательно, для тока 
: 
.
7. Переменная функция:
В общем виде: .
Тогда, для тока :
.
8. Построим график для найденной функции
(рис. 1.59):
Рис. 1.59
|
Задача 6. Реакция цепи первого порядка на импульсное возмущение экспоненциальной формы (рис.1.60.)
Рис. 1.60
|
Определить законы изменения всех токов и напряжения на источнике питания.
Решение:
1. Рассмотрим СУР.
Источник отключен: 
; .
В конце СУР: ; ; .
2. Зафиксируем ННУ: 
.
3. Определим ЗНУ: по первому закону коммутации индуктивность разрывает ветвь в расчетной схеме для :
.
4. Новый установившийся режим − нулевой. Не может служить частным решением неоднородного дифференциального уравнения.
5. Уравнения цепи:
Из системы: 
 для тока  получим:
 ;
 ;
 ;
| для тока  получим:
 ;
 ;
|
| Обозначив | |
 
| 
|
, запишем уравнения в конечной форме:Коэффициенты левой части уравнения одинаковы. Различают только свободные члены (правые части).
6. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Ищем в виде правой части. ( Метод неопределенных коэффициентов).
Для тока  :
  ;
| Для тока :
 ;
|
| Подставим эти решения в уравнения для токов: | |
 ;
|  ;
|
| После сокращения на общий множитель, получим: | |
 ;
|  ;
|
|
| |
 ;
|  ;
|
| тогда: | |
 
| 
|
Отсюда и находятся неопределенные ранее коэффициенты:7. Постоянные интегрирования: 
 Для тока :
| Для тока :
|
8. Характеристическое уравнение и его корень:
;
.
9. Переходные функции: 
.
 Для тока :
 .
| Для тока :
 .
|
|
| |
.
6. Проверка: 
;
.
7. Переходные функции и графики при:
(А); 
( 1/с); 
(А); 
(Ом); 
(Гн.).
Тогда:
(1/с);
(1/с).
Постоянные времени и время переходного процесса:
(с);
(с).
(с).
В схеме один накопитель. Это цепь первого порядка, но переходные функции как в цепи второго порядка. Это источник сформировал принужденную составляющую в форме свободной экспоненты.
Графики представлены на рис. 1.61
Рис. 1.61
|
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 9991; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!