Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики. Геометрическое определение вероятности.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 14Следующая ⇒

Вероятностью события называется численная мера объективной возможности наступления этого события. Свойства вероятностей: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность случайного события в пределах 0<P(a)<1. Два события называются совместными, если наступление одного из них не исключает возможность наступление другого. Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступление другого события. События А₁, А₂,…,А_n называются единственно-возможными, если в результате испытания наступает хотя бы одно из этих событий. События А₁, А₂,…,А_nобразуют полную группу событий, если они являются единственно-возможными и взаимно-несовместными. События А₁, А₂,…,А_nявляются исходами одного испытания называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не являются объективно более возможным. Вероятность события, эксперимент по воспроизведению, которого можно разложить на равновозможные исходы, равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию к общему числу исходов, т.е. P(A)=m/n, m-общее число исходов, n-число исходов, благоприятствующих событию. Сочетаниями С_n^m называется соединение, состоящее из m элементов и отличающиеся друг от друга состоянием элементов. Число сочетаний из n по m равно числу способов выбора m элементов из n. C_n^m=n!/m!(n-m)!.

РазмещениямиA_n^m называется соединение, состоящее из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядок их следования. A_n^m=n!/(n-m)!.

Перестановками Р_n называется соединение, состоящее из n элементов и отличающееся друг от друга порядком следования элементов. Р_n=n!.

Если в сочетании некоторые элементы могут повторятся, то их называют сочетания с повторениями. _n^m=C_n₊_m_-1^m.

Если в размещениях элементы могут повторяться, их называют размещения с повторениями. А_n^m=n^m.

Геометрическое определение вероятностей. Если эксперимент по воспроизведению некоторого события можно разложить на бесконечное число равновозможных исходов, то вероятности таких событий определяется по геометрической схеме. Вероятность события Р(А)=m(G)/n(S), m(G)-мера благоприятствующее событию А; n(S)-мера всей области. В качестве меры области может выступать длина отрезка, площадь фигуры, объем тела. А-случайно выбранная область S точка окажется в заштрихованной области (S1US2). Требования к применению геометрической схемы определения вероятности: 1) исходные области должны быть замкнуты; 2) области должны быть измеримы.

Простые и сложные события. Основные теоремы теории вероятностей: теорема сложения, теорема умножения.

Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти при выполнении определенного комплекса условий.

Сложным называется событие, если его нельзя разложить на более простые.

Суммой 2-х событий А и В называется событие С, которое состоит в наступлении либо события А, либо – В: С=А+В.

Произведением 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении событий А и В одновременно.

Под отрицанием события А понимают наступление противоположному к нему события.

Свойства: 1)А+В=В+А 2)А+(В+С)=(А+В)+С 3)А*В=В*А 4) А*(В*С)=(А*В)*С 5)(А+В)*С=А*С+В*С

1.А+А=Ω 2.А*А=А 3.А*А=0 4.А+0=А 5.А*0=0

Теорема сложения: вероятность суммы 2-х событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Док-во: Пусть н – общее число равновозможных исходов наступления событий Аи В, из них м исходов благоприятствуют событию А, к~B, л~A*B

Р(А)=м/н Р(В)=к/н Р(А*В)=л/н

Сумме событий А и В благоприятствуетА+В~м+к-л

Р(А+В)=(м+к-л)/н=м/н+к/н-л/н=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Теорема сложения (для не совместных событий): вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Док-во: образуют полную группу

- несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей

откуда

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Док-во: противоположные события образуют полную группу событий А и не А

Значит Р(А)+Р(не А)=1

2 события наз-ся зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от наступления другого события.

2 события наз-ся независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от наступления другого события.

Под условной вероятностью события А понимают вероятность этого события, вычисленную при условии, что другое событие состоялось Р(А/В) или Р_В(А).

Теорема умножения (для зависимых событий): вероятность произведения 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(А*В)=Р(А)* Р(В/А)= Р(В)*Р(А/В)

Док-во: пусть н- число равновозможных исходов экспериментапо воспроизведению событий А и В.

м – благоприятствует событию А, к~B, л~A*B

Рассмотрим условную вероятность

Теорема умножения (для независимых событий): вероятность произведения 2-х независимых событий событий равна произведению вероятностей этих событий.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 328; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!