Собственные вектора и собственные значения матрицы.
Пусть дана матрица А
Собственным вектором матрицы А называется ненулевой вектор, для которого выполняется равенство АХ=λХ, а число λ называется собственным значением.
Для нахождения λ составляют характеристическое уравнение
АХ=λХ
Получили систему линейных однородных уравнений. СЛОУ будет иметь ненулевое решение, если определитель системы равен нулю, т.е.
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши.
Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение потому что у и у’ входят в него линейно. Вместе с (1) рассматривается эквивалентная запись
Если , т.е. имеем или , т.е. имеем , то уравнение называется линейным однородным уравнением (ЛОДУ)
Если , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (ЛНДУ).
Для того, чтобы проинтегрировать ЛНДУ 1-го порядка, необходимо проинтегрировать соответствующее ему ЛОДУ 1-го порядка (т.е. решив промежуточную задачу, записав ноль в правой части), а затем применить метод Лагранжа.
1. Интегрирование ЛОДУ
Всякое ЛОДУ 1-го порядка интегрируется разделением переменных:
2. Метод Лагранжа (метод вариации постоянной)
В формуле (2) считать, что С является неизвестной функцией. Варьируем постоянную Найдем такую функцию С(х), чтобы формула (2) являлась решением ЛНДУ (1)
Подставляем
Закон является всеобщим и действует для всех ЛНДУ любого порядка
|
|
Задача Коши.Для того, чтобы из бесконечного числа решений выделить одно, необходимо дополнительное условие. Для ДУ 1-го порядка в нормальной форме: . Таким дополнительным условием является условие Коши y(x0)=y0 – условие Коши. А такая задача называется задачей Коши: y'=f(x,y), y(x0)=y0, где x0, y0 – любые числа, начальные условия функции.
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши.
Пусть дано ДУ: . С постоянными вещественными коэффициентами . Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения. .
1) Найдем
Рассмотрим ду: , где - вещественные постоянные. Составляем характеристическое уравнение . Пусть λ1,λ2 корни уравнения, причем среди них могут быть и кратные.
Возможны следующие случаи:
а) λ1,λ2 - вещественные и различные
Тогда ФСР уравнения (1) имеет вид и общим решением однородного уравнения будет .
б) λ1,λ2 - вещественные и кратные. .
ФСР , общее решение .
в) λ1,λ2 – комплексные. . ФСР .
|
|
2) Найдем
а) метод подбора.
Общий вид правой части f(x) уравнения (*), при котором возможно применить метод подбора, следующий: где - многочлены степени e и m соответственно. В этом случае частное решение уравнения (*) ищется в виде где многочлены от х к-ой степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а S – кратность корня характеристического уравнения.
б) принцип суперпозиции
При нахождении частных решений ЛНДУ удобно пользоваться принципом суперпозиции.
Теорема. Если yk(x) ест решение уравнения ,k=1,2.
То функция является решением уравнения .
в) задача Коши.
Как известно з.К. для ЛНУ , состоит: в нахождении решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!