Понятие о неопределенном и определенном интеграле. Интегрирование заменой переменных.
Вычислить неопределённый интеграл означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функцияF(x) называется первообразной для функции f(x).
Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись ∫f(x)dx, где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то ∫f(x)dx=F(x)+C (1)
Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.
Поставим задачу интегрирования: для данной функцииf(x)найти такую функциюF(x),производная которойравнаf(x).
Пример : f(x)=x4 => F(x)=x5/5
Свойства неопределённого интеграла
1.Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
2.Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функцииf(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е. ∫df(x)=f(x)+C
Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.
3.Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
4.Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е. ∫[f(x)+φ(x)-ψ(x)]dx=∫f(x)dx+∫ φ(x)dx-∫ψ(x)dx
|
|
|
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЁННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема.Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Ти пусть Х– множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Хфункция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt (1)
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.
Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.
Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:
Решение. Положим x – 1 = t; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt. По формуле (1)
|
|
|
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 359; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!