Способы представления решения СЛАУ: метод Гаусса, правило Крамера, матричный способ.
Рассмотрим систему из р линейных алгебраических уравнений сn неизвестными переменными (p может быть равно n)вида 
x1,x2,..,xn-неизвестные переменные ,аig,i=1,..p,g=1,n-коэффициенты,b1,b2,..bn-свободные члены. Такую форму записи СЛАУ называют координатой.В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид: А*Х=В,где 
-основная матрица системы,Х= 
-матрица-столбец неизвестных переменных. В= 
-матрица-столбец свободных членов.Если к матрице А добавить в качестве (n+1)го столбца матрицу-столбец свободных членов,то получим расширенную матрицу СЛУ.Решением СЛАУ называют набор значений неизвестных переменных х1= α1,х2=α2,..,хn=αn,обращающий все уравнения системы в тождества.Матричное уравнение А*Х=В при данных значениях неизвестных переменных так же обращается в тождество А*Х=В.Если система уравнений имеет хотя бы одно решение,то она называется совместной.Если система не имеет решений, то она несовместна. Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной, если решений больше,то неопределенной.Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю b1=b2=..=bn=0, то система называетсяоднородной,в противном случае неоднородной.Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определить ее основной матрицы не равен нулю,то такие СЛАУ называется элементарными.
Решение СЛАУ методом Крамера.Пусть нам требуется решить СЛАУ 
Пусть 
-определитель основной матрицы системы. 
x1, 
-определитель матриц,которые получаются из А заменой 1го,2го и т.д. столбцов соответственно на столбец свободных членов.Неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера,как 
, 
..так находится решение СЛАУ.
|
|
|
Решение СЛАУ матричным методом.Пусть СЛАУ задана в матричном виде А*Х=В,где А с размерностью n*nи 
,т.к. ,то матрица А-обратима,т.е.существует обратная матрица А-1 .Если обе части уравнения А*Х=В умножить на А-1 ,то А-1*А*Х= А-1 *В 
А-1 *В .
Решение СЛАУ методом Гаусса. Рассм.систему 
1 шаг-прямой ход метода Гаусса составляем расширенную матрицу 
C помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду: 
2шаг-обратный ход метода Гаусса по ступенчатой матрице выписываем систему, откуда находим x1,x2,x3
X3 
; X2 
; X1 
Определитель матрицы. Его свойства и правила вычисления.
Определитель 1-гопорядка называется число, равное единственному элементу этой матрицы 
.
Определителем 2-гопорядка называется число, которое вычисляется по формуле 
.
Определителем 3-го порядка называется число, которое вычисляется по формуле
Определителем n-го порядка называется число, которое вычисляется по теореме Лапласса: любой определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраическое дополнение: 
.
|
|
|
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы А называется число 
где 
- определитель матрицы, получающийся из исходной матрицы А путем вычеркивания i–ой строки и j–го столбца.
Свойства определителя:
1) Определитель не меняется при транспонировании;
2) Если какая-то строка определителя состоит из нулей, то такой определитель равен нулю. Аналогично для столбца.
3) При перестановке двух строк определителя, он меняет знак 
.
4) Определитель содержащий две одинаковые строки равен нулю.
5) Если элементы некоторой строки умножить на некоторое число, то сам определитель умножается на это число:
6) Определитель содержащий две пропорциональные строки равен нулю.
7) Определитель порядка n можно представить в виде суммы двух определителей.
8) Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то такой определитель равен нулю.
9) Определитель не меняется, если к элементам одной из строк прибавляются соответствующие элементы других строк, умноженных на одно и тоже число.
Правила вычисления определителей:
1. Для определителей 1,2,3 порядков есть специальные формулы, указанные выше.
|
|
|
2. Для определителя порядка n применяется теорема Лапласса.
3. Занулить элементы, стоящие под главной диагональю и перемножить элементы, стоящие на главной диагонали.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 410; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!