Решение координатно-параметрическим методом уравнений с параметрами
Пусть дано уравнение F(х, а) = 0 (обозначим его *), где F(х, а) - функция переменной х и числового параметра а.
Рассмотрим два частных случая:
1. Координата х - функция параметра а:
х = f(а)
На координатно-параметрической плоскости хОа с горизонтальной параметрической осью Оа множество всех точек, значения координаты х и параметра а каждой из которых удовлетворяют уравнению (*), представляет собой график функции, где роль аргумента функции играет параметр.
2. Параметр а - функция координаты х:
а = f(х)
В этом случае можно рассматривать координатно-параметрическую плоскость аОх с вертикальной параметрической осью Оа и интерпретировать множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению (*), как график функции где роль аргумента функции играет координата.
Следует отметить, что в рассматриваемом координатно-параметрическом методе центральное место занимает нахождение множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых уравнением (*).
Более просто обстоит дело, когда левой частью уравнения (*) являются многочлены первой или второй степеней.
Так в курсе аналитической геометрии доказывается, что уравнения вида
Р(х, а) = 0,
где Р(х,а) – многочлен второй степени относительно х и а, определяет на координатно-параметрической плоскости линии: эллипс, гиперболу, параболу или пару прямых (пересекающихся, параллельных или сливающихся в одну).
|
|
|
Например, на координатно-параметрической плоскости хОа уравнения
,
,
определяют соответственно окружность, гиперболу и параболу, а уравнение
определяет пару пересекающихся (взаимно перпендикулярных ) прямых.
Метод «частичных областей»
Метод областей при решении неравенств с параметром – это аналог метода “интервалов” для решения неравенств с одной переменной.
Общие признаки задач, подходящих под рассматриваемый метод:
§ В задаче дан один параметр аи одна переменная х
§ Они образуют некоторые аналитические выражения F(x;a), G(x;a)
§ Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно
Рассмотрим теперь подробно все шаги решения методом областей.
Пример.Пусть дано неравенство Р (х,а) > 0, (1)
где Р (х ,а) – многочлен, аргументами которого являются переменная х и параметр а.
Пусть уравнение
Р (х,а) =0
определяет некоторые линии на координатно-параметрической плоскости.
Разобьем этими линиями координатно-параметрическую плоскость на конечное число n «частичных областей» G1,G2,…….Gn, ограниченных линиями Р=0.
В каждой из «частичных областей» Gi(i=1,2,…….., n) многочлен Р(х,а) отличен от нуля, так как точки в которых Р (х,а) =0 принадлежат границе этих “частичных областей”.
|
|
|
Справедлива теорема : В каждой из областей Gi(i=1,2,…….., n),на которые линии Р=0 делят КП-плоскость,многочлен Р (х,а) либо положителен, либо отрицателен.
Таким образом, решение неравенства (1) – множество всех пар чисел (х,а),при которых неравенство выполняется,образуют совокупность тех областей Gi(i=1,2,…….., n),в которых значение Р (х,а) положительно.
Для установления, какое из неравенств Р>0 или P<0 выполняется в данной области, достаточно вычислить значение Р (х,а) в какой- нибудь определенной точке этой области.
НеравенствоР (х,а) < 0решается аналогично.
Решение системы алгебраических неравенств
заключается в отыскивании для каждого из неравенств системы областей, в которых оно выполняется, и в нахождении пересечения всех этих областей.
Пусть дано неравенство видаP(x, a) > 0. Сформулируем для данного вида алгоритм решения на основе координатно-параметрического метода:
1) Найти на координатно-параметрической плоскости ОДЗ (область допустимых значений переменной и параметра).
2) Построить на координатно-параметрической плоскости линии, состоящие из всех точек, при значениях координаты х и параметра а, в каждой из которых выражение P(х,а) обращается в нуль или не существует.
|
|
|
3) Разбить этими линиями найденную ОДЗ на «частичные области».
4)Исследовать знак выражения P(х,а) в каждой из полученных частных областей. Для этого достаточно установить знак выраженииP(х,а)в какой-нибудь точке в каждой из «частных областей».
5) В ответ записываются те из “частичных областей”, в которых выражение P(x,a)положительно. Неравенство P(x,a)< 0 решается аналогично.
Координатная плоскость
В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче(неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: построение графического образа на координатной плоскости (х;у), второй на (х;а) или (а,х).
На плоскости (х;у) функция у=f(х,а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1387; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!