Числовые характеристики случайных величин.
Параметры, выражающие наиболее важные особенности СВ, называются числовыми характеристиками СВ.
1 группа – хар-тики положения СВ на числовой оси (мат ожидание, мода, медиана)
2 группа – характеристики, оценивающие меру разброса (рассеяния) СВ вокруг среднего (дисперсия, СКО)
Математическое ожидание дискретной случайной величины, его вероятностный смысл.
Мат ожидание – сумма произведений её возможных значений на соответствующую в-ть.
Пусть СВ Х принимает знач-я х1, х2, хn, в-ти которых соотв равны p1, p2, pn.
Тогда мат ожидание М(Х) СВ Х опред рав-вом М(Х)=х1р1+xn*pn=Сумма(от 1 до n) xi*pi
Вероятностный смысл мат ожидания. Пусть произведено n испытаний в которых СВ Х приняла х1-m1 раз … xk-mk раз, причем m1+m2+mn=1.
Тогда сумма всех принятых Х равна x1m1+x2m2+…xk*mk
Найдем среднюю арифметическую. Хсред=(x1m1+x2m2+…xk*mk)/n
Xсред=x1m1/n+x2m2/n+xk*mk/n=x1*m1/n+x2*m2/n+xk*mk/n;
W – относительная частота w=mk/p
Хсред= x1w1+x2w2+xk*wk=x1p1+x2p2+xk*pk – Мат ожидание
Если число испытаний достаточно велико, то отн частота будет незначительно отличаться от в-ти. Хсред примерно=М(Х)
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ СМЫСЛ полученного результата таков:Мат ожидание приблизительно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.
Свойства математического ожидания.
1. Мат ожидание постоянной равно ей самой M(C) = C. ДОК-ВО. Будем рассматривать пост С как ДСВ, которое имеет одно возможное значение С и примет его с пост. в-тью р=1 => M(C)=C*1=C
|
|
|
2. Пост. множитель можно выносить за знак мат ожидания M(CX)=C*M(X)
ДОК-ВО. Из определения мат ожидания – сумма произведений её возм значений на соотв в-ть.
(X-х1-хn; P-p1-pn) и (CX-cx1-cxn; P-p1-pn)
Мат ожидание M(C)=Cx1p1+…Cxnpn=C(x1p1+…+xnpn)=CM(X)
3. Мат ожидание суммы (разности) 2-х СВ равна сумме (разности) их мат ожиданий M(X+-Y)=M(X)+-M(Y).
ДОК-ВО. Докажем, что M(X+Y)=M(X)+M(Y). Согласно опр мат ожидания и опр суммы 2-х СВ будем иметь M(X+Y)=СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)(xi+yj)*pij= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*pij+СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)yj*pij=СУМ(i=1;n)xi*СУМ(j=1;m)pij+ СУМ(j=1;m)yj*СУМ(i=1;n)pij= СУМ(i=1;n)xi*pi+СУМ(j=1;m)yj*pj=M(X)+M(Y).
ДОК-ВО разности аналогично.
4. Мат ожидание произв 2-х незав СВ равно произведению их мат ожиданий M(XY)=M(X)*M(Y). ДОК-ВО. Из опр мат ожидания и произв СВ M(XY)= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*yj*pij
Т.к. по условию x и y независимые, то Pij=P(X=xi)*P(Y=yj)=pi*pj.
M(XY)= СУМ(i=1;n)СУМ(j=1;m)xi*yj*pi*pj= СУМ(i=1;n)xi*pi * СУМ(j=1;m)yj*pj=M(X)*M(Y).
5. Если все знач-я СВ увеличить (уменьшить) на нек число С, то мат ожидание увел (умен) на это же число M(X+-C)=M(X)+-C;M(X+C)=M(X)+M(C)=M(X)+C.
6. Мат ожидание отклонения СВ от её мат ожидания равно 0. M(x-M(x))=0.
Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления.
ДИСПЕРСИЕЙ (рассеянием) ДСВ называют мат ожидание квадрата отклонения СВ от её мат ожидания D(X)=M[x-M(x)]^2.
|
|
|
D(X)= [x1-M(x)]^2*p1+[x2-M(x)]^2*p2+[xn-M(x)]^2*pn.
ТЕОРЕМА. ДИСПЕРСИЯ равна разности м/д мат ожиданием квадрата СВ Х и квадратом её мат ожидания D(X)=M(x^2)-M(X)^2.
ДОК-ВО. Мат ожидание M(X) есть пост величина => 2M(X) и M(X)^2 есть также пост величины.
D(X)=M[x-M(x)]^2=M[x^2-2M(X)+M^2(x)]=M(x)^2-2M(x)M(x)+M^2(x)=M(x)^2-2M^2(x)+M^2(x)=M(x)^2-M^2(x).
Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
1. ДИСП пост величины С = 0. D(C)=0.
ДОК-ВО. По опр дисперсии D(C)=M(C-M(C))^2. Пользуясь первым свойством мат ожидания получим D(C)=M(C-С)^2=M(0)=0.
2. Пост множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат. D(CX)=C^2*D(X).
По опр дисперсии D(CX)=M([Cx-M(CX)]^2)=M([C^2*(x-M(x)]^2)=C^2*M[X-M(X)]=C^2*D(X).
3. Дисперсия суммы (разности) 2ух СВ равна сумме дисперсий этих величин. D(X+-Y)=D(X)+D(Y).
По теореме
D(X+Y)=M[(X+Y)^2]-[M(X+Y)]^2=M[x^2+2xy+y^2]-[M(x)+M(y)]^2=M(x^2)+2M(x)M(y)+M(y^2)-M^2(x)-2M(x)M(y)-M^2(y)=[M(X^2)-M^2(x)] + [M(Y^2)-M^2(y)]=D(X)+D(Y).
4. Дисперсия произведения 2ух независимых СВ X и Y вычисляется по формуле
D(XY)=D(X)*D(Y)+M^2(X)*D(Y)+M^2(Y)*D(X).
СКО СВ Х называют квадратный корень из дисперсии. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности СВ. Т.к. СКО равно кв корню из дисперсии, то размерность СКО совпадает с размерностью Х.
В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность СВ, вычисляют СКО, а не дисперсию.
|
|
|
Числовые характеристики непрерывных случайных величин, их свойства.
Пусть НСВ Х задана плотностью распределения f(x). Пусть все значения Х принадлежат отрезку от а до b. Разобьем этот интервал на n частичных отрезков длиной дельта х1, дельта х2, дельта хn и выберем в каждом из них произвольную точку xi. Составим сумму произведений возможных значений xi на вероятности попадания их в интервал дельта xi (произведение f(x)*дельта x приближенно равно в-ти попадания Х в интервал дельта х): СУММА xi*f(xi)*дельта xi. Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx.
МАТ ОЖИДАНИЕМ НСВ Х, возможные значения которой принадлежат промежутку [a;b] называют определенный интеграл M(x)= ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx.
ЗАМЕЧАНИЕ: Если все возможные значения СВ принадлежат всей числовой оси, то формула будет
M(x)= ИНТЕГРАЛ(от -беск до +беск) х*f(x)dx.
ДИСПЕРСИЕЙ НСВ Х называют мат ожидание квадрата её отклонения от мат ожидания. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то D(X) = ИНТЕГРАЛ (от a до b) (x-M(x))^2*f(x)dx, если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то D(X) = ИНТЕГРАЛ (от –беск до +беск) (x-M(x))^2*f(x)dx.
Также D(X) = ИНТЕГРАЛ (от a до b) x^2*f(x)dx –M^2(x)
СКО = SQR ДИСПЕРСИЯ
СВОЙСТВА числовых характеристик НСВ совпадают со свойствами для случая ДСВ
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 352; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!