Несовместные события. Сумма несовместных событий. Теорема сложения несовместных событий.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления всех остальных событий в одном и том же испытании.
НАПР., из колоды извлекаем 1 карту. События А, В, С – несовместны. А – появился король, В – появилась дама, С – появился туз.
Два события А и неА называются противоположными, если они являются несовместными и одно из них обязательно произойдет.
НАПР., брошена монета. А – появился герб, В – появилась решка. А и В противоположны.
События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными. НАПР., есть 2 лотерейных билета. А – выиграл 1 билет и не выиграл 2; В – выиграл 2ой билет и не выиграл 1й; С – выиграли оба; D – не выиграли оба.
СУММОЙ несовместных событий А1, А2,…,Аn называется такое событие, которое состоит в наступлении какого-либо одного из событий А1, А2,…, Аn.
НАПР., подбрасывается игральная кость. А – выпала «пятерка»; В – выпало четное число. Событие (А+В) – выпала «пятерка» или четное число.
ТЕОРЕМА «О сумме несовместных событий».
В-ть суммы конечного числа несовместных событий равна сумме в-тей этих событий.
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1) + (А2) + …+ Р(Аn)
Док-во. 1. Докажем теорему для случая 2ух событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания, m1 – число исходов, благоприятных для А; m2 – для В. (m1+m2) – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо событию А, либо событию В. Следовательно:
|
|
Р(А+В) = (m1+m2)/n = m1/n + m2/n.
Т.к. m1/n = Р(А) и m2/n = P(B), то получим:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
2) Методом математической индукции докажем теорему для любого конечного числа событий. Предположим, что для n событий утверждение верно, т.е.
Р(А1+А2+…+Аn) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) и докажем для (n+1) события.
Тогда Р(А1+А2+…+Аn + A(n+1)) = Р[(A1+A2+…+An + A(n+1))] = P(A1+A2+…+An) + P(A(n+1)
С учетом нашего предположения, имеем
Р(А1+А2+…Аn + A(n+1)) = Сумма Р(Аi) (сумма от 1 до n+1).
СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма в-тей события А1, А2,…Аn, образующих полную группу, равна 1.
СЛЕДСТВИЕ 2. Сумма в-тей противоположных событий равна 1.
Совместные события. Сумма совместных событий. Теорема сложения совместных событий.
События А1, А2,…, Аn называются совместными, если появление одного из них не исключает появления всех остальных в одном и том же испытании.
НАПР., метеорологич. прогноз
А: ожидается дождь
В: ожидается ветер
События А и В совместны.
СУММОЙ n совместных событий А1, А2,…, Аn называется такое событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2,.., Аn.
ТЕОРЕМА «О сумме совместных событий».
В-ть суммы 2ух совместных событий равна сумме в-тей этих событий минус в-ть их совместного появления.
|
|
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
Док-во Поскольку А и В совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих несовместных событий: А*неВ; неА*В или А*В.
По теореме сложения в-тей несовместных событий
Р(А+В) = Р(неА*В) + Р(А*неВ) + Р(АВ) (1).
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий А*неВ или А*В.
По теореме сложения в-тей несовм. событий имеем Р(А) = Р(А*неВ) + Р(АВ) или
Р(А*неВ) = Р(А) – Р(АВ) (*)
Аналогично имеем
Р(В) = Р(неА*В) + Р(АВ) или Р(неА*В) = Р(В) – Р(АВ) (**)
Подставив (*) и (**) в (1) получим Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Замечание При использовании полученной формулы следует иметь ввиду, что события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.
- для независимых: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
- для зависимых: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) РА(В)
РА(В) – условная в-ть события В.
Следствие: В-ть суммы конечного числа совместных событий вычисляется по формуле
Р(А1+А2+…+Аn) = суммаi Р(Ai) + суммаi,j P(AiAj) + суммаi,j,k (Ai,Aj,Ak) - … + (-1) в степени (n-1) * сумма(i, n) P(П от n до i=1 * Ai)
Полная группа событий. Теорема о сумме событий, образующих полную группу.
События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными. НАПР., есть 2 лотерейных билета. А – выиграл 1 билет и не выиграл 2; В – выиграл 2ой билет и не выиграл 1й; С – выиграли оба; D – не выиграли оба.
|
|
СЛЕДСТВИЕ 1. Сумма в-тей события А1, А2,…Аn, образующих полную группу, равна 1.
P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
ДОК-ВО. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а в-ть достоверного события =1, то P(A1+A2+…+An)=1. Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
Сравнивая получим P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1.
Зависимые события. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Зависимыми называют такие 2 события, при появлении одного из которых вероятность появления другого изменяется.
НАПР. Выборка без возвращения. В ауд 50 студентов, из них 5 сдали на 5ку. Вызывают 1го студента и отправляют его в деканат. Какова в-ть того, что это пятерочник. (5/50). След. (4/49), (3/48).
В-ть Ра(В) наз-ся условной в-тью появления события В при условии, что А уже произошло.
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ событий А1, А2, …, Аn наз-ся такое событие, которое предполагает совместное появление всех этих событий А1, А2, Аn.
НАПР., Если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
|
|
ТЕОРЕМА «О произведении зависимых событий». В-ть произведения 2х зависимых событий равна произведению в-ти одного из них на условную в-ть другого.
Р(АВ) = Система: Р(А)*Ра(В) и Р(В)*Рb(А)
Док-во: Пусть событию А из n испытаний благоприятствует m исходов. Тогда при появлении А, событию В будет благоприятствовать k<=m исходов. Поэтому совместному появлению события А и В будет благоприятствовать только k исходов.
Р(АВ) = k/n=k/n*m/m=m/n*k/m=P(A)*Pa(B).
СЛЕДСТВИЕ. В-ть совместного появления n событий равна произведению в-ти одного из них на условные в-ти всех остальных.
Р(А1,А2,А3,…,Аn) = Р(А1)*Ра1(А2)*Ра1а2(А3)*…*Ра1а2…а(n-1)(An).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 823; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!