Локальная теорема Лапласа. Функция j(х), ее свойства.
ТЕОРЕМА. Если в условиях схемы Бернулли число испытаний достаточно велико, а в-ть появления события А в каждом испытании фиксирована 0<p<1, то Pn(m)=(1/SQR(npq))*фи(x), где фи(х)=(1/SQR(2Пи))*е^(-(x^2/2)); x = (m-np)/SQR(npq).
Фи(х) – локальная ф-ия Лапласса.
СВОЙСТВА:
1. Обл опр ф-ии: х=(-беск;+беск)
2. Обл значений: (0; 1/SQR(2Пи)]
3. Ф-ия четная, т.е. фи(-х)=фи(х)
4. График ф-ии имеет горизонтальную асимптоту – ось ОХ,
т.к. limфи(х)(х стремится к беск.)=0
5. Гр-к имеет т. экстремума А(0;1/SQR(2Пи)) – т. максимума.
6. Имеет 2 точки перегиба В(-1; 1/SQR(2Пи*е)); С(1; 1/SQR(2Пи*е))
7. Интеграл (от –беск до +беск) фи(х)dx = 1.
ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-я фи(х) табулирована (есть табл) в приложении №1. Для значений аргумента |x|>=4 ф-ию принято считать равной 0, т.е. фи(|x|>=4) примерно=0.
НАПР. Фи(-13,5)=фи(13,5)=0 (чет. ф-ия).
Интегральная теорема Лапласа. Функция Ф(х), ее свойства.
Пусть в условиях схемы Бернулли число испытаний велико, а в-ть события А фиксирована, тогда в-ть того, что в n испытаниях событие А произойдет от m1 до m2 раз вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2) примерно= Ф(х2) – Ф(х1), где Ф(х) – интегральная ф-ия Лапласа.
Ф(х) = (1/SQR(2Пи))*интеграл(от 0 до х) е^-(t^2/2)dt, x2=(m2-np)/SQR(npq); x1=(m1-np)/SQR(npq).
СВОЙСТВА.
1. Обл опр. х принадлежит (-бекс;+беск)
2. Обл значений (-0,5;+0,5)
3. Ф-ия Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)
4. Ф-ия монотонно возрастает на всей обл. опр.
5. Гр-к имеет 2 горизонт асимптоты у=+-0,5,
т.к. limФ(х) (х стремится к +-беск) = +-0,5.
6. Точек экстремума нет. Точка перегиба О(0;0)
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-ия табулирована (приложение №3). Для значений аргумента |x|>=5, ф-ю принято считать равной 0,5, т.е. Ф(|x|>=5) примерно=0,5.
СЛЕДСТВИЕ 1. В-ть абсолютной величины отклонения числа появлений события А от произведения np не более, чем на Эпсилон>0 вычисляется по формуле
Pn(|m-np|)<=Эпсилон примерно=2Ф(Эпсилон/SQR(npq))
ДОК-ВО. Воспользуемся определением модуля |m-np|<=E <=> np-E<=m<=np+E.
Pn(|m-np|)<=E=Pn(np-E<=m<=np+E) примерно= Ф((np+E-np)/SQR(npq))-Ф((np-E-np)/SQR(npq))=2Ф(Эпсилон/SQR(npq)).
СЛЕДСТВИЕ 2. В-ть абсолютной величины отклонения относит частоты появления события А от его в-ти не более, чем на Е>0 вычисляется по формуле Pn=(|m/n-P|)<=E примерно= 2Ф(E*n/SQR(npq)).
ДОК-ВО. |m/n-P|<=E <=> p-E<=m/n<=p+Е <=> np-nE<=m<=np+En
Pn=(|m/n-P|)<=E = Pn(np-nE<=m<=np+En) примерно = Ф((np+nE-np)/SQR(npq))- Ф((np-nE-np)/SQR(npq))=2Ф(E*n/SQR(npq)).
Теорема Пуассона, следствия.
Если в условиях схемы Бернулли число испытаний неограниченно возрастает, а в-ть появления события А уменьшается так, что лямбда=np остается величиной постоянной, то
Pn(m) примерно= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.
СЛЕДСТВИЯ.
1) В-ть появления хотя бы одного события в испытаниях, удовлетворющих т. Пуассона вычисляется по формуле Pn(m>=1)примерно=1-e^-лямбда.
2) В-ть того, что в n испытаниях, удовлетворяющих т. Пуассона, событие А произойдет от m1 до m2 раз вычисляется по формуле Pn(m1<=m<=m2)=СуммаPn(m) примерно= Сумма((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда).
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Ф-ия Пуассона табулирована и находится по заданным (m; лямбда) в прил №2.
НАПР. В магазин завезли 500 бут. В-ть того, что при перевозке бутылка окажется разбитой равна 0,002. Найти в-ть того, что магазин получит 3 разбитых бутылки.
Дано: n=500, p=0,002, q=0,998. Найти Р500(3).
РЕШ-Е. лямбда=500*0,002=1 (лямбда<10)
Pn(m)= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.
P500(3) = ((1^3)/3!)*e^-1=0,0617.
Вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности в независимых испытаниях.
СЛЕДСТВИЕ 2. В-ть абсолютной величины отклонения относит частоты появления события А от его в-ти не более, чем на Е>0 вычисляется по формуле Pn=(|m/n-P|)<=E примерно= 2Ф(E*n/SQR(npq)).
ДОК-ВО. |m/n-P|<=E <=> p-E<=m/n<=p+Е <=> np-nE<=m<=np+En
Pn=(|m/n-P|)<=E = Pn(np-nE<=m<=np+En) примерно = Ф((np+nE-np)/SQR(npq))- Ф((np-nE-np)/SQR(npq))=2Ф(E*n/SQR(npq)).
17. Вероятность отклонения числа появлений события от произведения (n´p) в независимых испытаниях.
СЛЕДСТВИЕ 1. В-ть абсолютной величины отклонения числа появлений события А от произведения np не более, чем на Эпсилон>0 вычисляется по формуле
Pn(|m-np|)<=Эпсилон примерно=2Ф(Эпсилон/SQR(npq))
ДОК-ВО. Воспользуемся определением модуля |m-np|<=E <=> np-E<=m<=np+E.
|
|
|
Pn(|m-np|)<=E=Pn(np-E<=m<=np+E) примерно= Ф((np+E-np)/SQR(npq))-Ф((np-E-np)/SQR(npq))=2Ф(Эпсилон/SQR(npq)).
Наивероятнейшее число появления события.
Наивероятнейшим числом появления события А называется число m0, в-ть которого в n испытаниях максимальна: np-q<=m0<=np+p.
СВОЙСТВА.
1. Если число (np-q) – дробное, то сущ-ет одно наивероятнейшее число
2. Если число (np-q) – целое, то сущ-ет 2 наивероятнейших числа m0 и m(0+1)
3. Если число np – целое, то наивероятнейшее число m0=np
НАПР. На автоматическом станке изготовлены 24 изделия. В-ть того, что изделия высшего сорта=0,6. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта.
ДАНО: n=24, p=0,6, q=0,4.
24*0,6-0,4<=m0<=2*0,6+0,6
14<=m0<=15.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 593; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!