Гипергеометрическое распределение, его числовые характеристики.
Пусть имеется множество из n элементов s из которых обладают фиксированным свойством. Пусть из этого множества осуществляется выборка объемом r. Число m обладает фиксированным свойством среди выбранных.
Тогда Pn(x=m)=Cs^m*C(n-s)^(r-m)/Cn^r.
НАПР. Всего 20 студентов. Из них 3 сопливых. Вызвано 5. Сколько из них могут быть сопливыми (m). X-0-1-2-3; P-…
M(X)= r*s/n
D(X)=r*(s/(n-1))*(1-s/n)*(1-r/n)
Функция распределения F(х), ее свойства.
Ф-ей распределения СВ Х наз-ся такая ф-я F(x), которая определяет в-ть того, что эта СВ Х в результате испытания примет значение меньшее, чем (заранее известная) х. F(x)=P(X<x).
СВОЙСТВА Ф-ИИ.
1. 0<=F(x)<=1. Из определения ф-ии F(x) или в-ти: в-ть есть неотрицательное число, не превышающее 1.
2. F(x2)>= F(x1), если х2>x1. Пусть х2>x1, тогда Р(Х<x2)= Р(Х<x1)+P(x1<=X<x2);
Р(Х<x2)- Р(Х<x1)= P(x1<=X<x2); F(x2)-F(x1)= P(x1<=X<x2) т.к. в-ть >0
F(x2)>=F(x1)
Поскольку разность >0, то уменьшаемое больше вычитаемого ГРАФИКИ
СЛЕДСТВИЯ из СВ-ВА 2.
Следствие 1. В-ть того, что СВ Х примет значение, заключенное на интервале (a;b), равна приращению ф-ии распред-я на этом интервале. P(a<x<b)=F(b)-F(a).
Следствие 2. В-ть того, что НСВ Х примет одно определенное значение, равна 0.
НАПР, СВ Х задана ф-ей
F(x)=система 0, при х<=-1; x/4+1/4, при -1<x<=3; 1, при х>3. Найти в-ть того, что в результате испытания СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2).
F(2) = 2/4+1/4=3/4
F(0) = 0/4+1/4=1/4
P(0<x<2) = 3/4-1/4=2/4=0,5
СВОЙСТВО 3
Если все возможные значения СВ Х принадлежат (a;b), то F(x)=0, при x<=a, F(x)=1, при x>=b. ДОК-ВО 1) Пусть х1<=a, тогда событие Х<x1 невозможно => в-ть его равна 0.
|
|
|
2) Событие Х<x2 достоверно, т.к. все возможные значения Х меньше х2 => в-ть его=1.
СЛЕДСТВИЕ. Если возможные значения НСВ расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные соотношения limF(x)=0 (х-> к –беск); limF(x)=1 (x -> к + беск)
Плотность распределения вероятностей f(х), ее свойства.
Плотностью распределения в-тей НСВ называется первая производная от ф-ии распределения f(x)=F’(x).
Вероятностный смысл f(x).
f(x)=F’(x)=lim (дельта х -> 0) (F(x+ дельта x)-F(x))/ дельта x. В числителе дроби – в-ть того, что СВ Х попадет в интервал (x+ дельта x; х). Приращение ф-ии к приращению аргумента, при стремлении последнего к «0».
В знаменателе (дельта x) – длина интервала.
Т.о., f(x) отражает в-ть попадания СВ в интервал при сколь угодно малой его длине. f(x) = P(x; x+ дельта x) (дельта x стремится к 0).
СВОЙСТВА f(x).
1. Плотность распр-я – неотрицательная ф-ия: f(x)>=0.
Геометрическая интерпретация свойства. Оно означает, что гр-к ф-ии f(x) лежит либо выше оси абсцисс, либо на ней. Кривая распределения ГРАФИК
2. В-ть того, что СВ примет знач-е, принадлежащее от а до в равна определенному интегралу от ф-ии плотности в-ти, взятому в пределах от а до в.
|
|
|
Р(а<x<b) = Интеграл от а до b f(x) dx.
ДОК-ВО. Из свойств ф-ии распред-я известно, что дельтаР(a<x<b) = F(b)-F(a). По формуле Ньютона-Лейбница известно, что
Интеграл от а до b F’(x)dx= Интеграл от а до b f(x)dx.
Геометрически это свойство означает, что в-ть попадания СВ в интервал (a;b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной ф-ей y=f(x) сверху и прямыми х=а и x=b по обеим сторонам.
НАПР. Задана ф-ия плотности распред-я в-тей f(x)=система 0, при x<=0; 2x, при 0<x<=1; 0, x>1. Найти в-ть того, что в результате испытания НСВ попадет в интервал от 0,5 до 1. Р(0,5;1) - ?
Р(0,5;1)=интеграл (от 0,5 до 1) 2х dx = x^2 | 0,5 и 1 = 1-0,25=0,75.
СВОЙСТВО 3. Несобственный интеграл от ф-ии плотности в пределах от -беск до +беск равен 1. Интеграл(от –беск до +беск) f(x)dx=1.
ДОК-ВО. Предположим, что все значения СВ расположены на интервале (-беск; +беск). Тогда в-ть того, что значение СВ попадет в этот интервал = 1. А это не что иное, как искомый интеграл.
P(-беск<x<+беск)=1= Интеграл(от –беск до +беск) f(x)dx.
Геометрически это значит, что если
ЗАМЕЧАНИЕ. Если все значения СВ сосредоточены на отрезке [a;b], тогда интеграл от ф-ии плотности также = 1. Интеграл ( от а до b) f(x)dx = 1.
Нахождение функции распределения по известной функции плотности.
|
|
|
ТЕОРЕМА. Ф-ия распределения связана с ф-ей плотности следующим равенством F(x) = Интеграл (от –беск до х) f(x)dx.
ДОК-ВО. F(x)=P(X<x)=P(-беск<X<x)=Интеграл (от –беск до х) f(x)dx. По свойству 2 ф-ии плотности.
Математические операции над случайными величинами.
Пусть СВ Х и У заданы след. з-ми распред-я (X-х1-х2-хn; P-p1-p2-pn) и (Y-y1-y2-ym; P-p’1-p’2-p’m).
Две СВ называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если з-н распред-я одной не зависит от того, какие значения приняла другая.
Несколько СВ называются взаимно независимыми, если з-ны распред-я любого кол-ва из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.
ОПЕРАЦИИ
1. СВ можно умножать на число – произведением пост. С на СВ Х называется новая СВ Z=СХ, которая принимает свои значения Zk=CХi с вероятностями P(Z=zn)=P(X=xi)
2. СВ можно складывать (вычетать). Суммой 2-х СВ Х и У наз нов СВ Z=X+Y для которой
А) возможные значения равны всевозможным суммам возможных знач-ий СВ Х и У, т.е. Zk=xi+yi; (i=[1;n]; j=[1;m])
Б) соответственные в-ти находятся из условия:
P(Z=zk)=СуммаP(X=xi)*P(Y=yi); (i=[1;n]; j=[1;m])
Для зависимых:
P(Z=zk)=СуммаP(X=xi)*Px=xi(Y=yi); (i=[1;n]; j=[1;m])
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично опред разность и произведение СВ (! % нельзя)
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 428; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!