Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей случайной величины, способы задания.
СВ – это величина, которая в результате испытания примет 1 и только 1 возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Это величина, которая принимает свои возможные значения в зависимости от случая.
СВ обозначаются заглавными буквами X, Y, Z, а их значения – маленькими x, y, z.
Дискретная СВ (ДСВ) – это такая СВ, множество значений которой конечно или бесконечно, но счетно. НАПР., число появлений герба при бросаниях монеты: 0, 1, 2, 3… Задача о встрече.
НЕПРЕРЫВНАЯ СВ – это такая СВ, множество значений которой бесконечно. НАПР., расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия; время безотказной работы лампы.
СВ ХАРАКТЕРИЗУЮТ:
1. её значения;
2. з-н распред-я в-тей;
3. числовые характеристики этой СВ (мат ожидание, дисперсия, СКО)
ЗАКОН распределения в-тей – это любое соответствие м/д значениями, которые принимает СВ и вероятностями, с которыми она их принимает.
СПОСОБЫ задания: - табличный; - графический; - аналитический.
1. Табличный (только для ДСВ). Xn – возможные значения ДСВ, Рn – в-ти соответствующих значений ДСВ. События Х=х1…Х=хn образуют полную группу, т.к. они несовместны и единственно возможны => Сумма Pi = 1.
2. Графический. Многоугольником распределения в-тей наз-ся ломаная линия, состоящая из отрезков, соединяющих точки с координатами Хi, Pi.
3. Аналитический: равномерный, биномиальный, геометрический, Пуассона, гипергеометрический.
|
|
|
Равномерное дискретное распределение, его числовые характеристики.
ДСВ называется распределенной по равномерному з-ну, если она принимает свои возможные значения с пост в-тью: Pn(X=xi)=1/n
НАПР., выпадение разного кол-ва очков на игральном кубике.
ТЕОРЕМА. Мат ожидание и дисперсия равномерно распределенной ДСВ вычисляется по формулам:
М(Х) = Сумма(xi)/n; D(X)=Сумма(x^2)/n-[Сумма(xi)/n]^2.
ДОК-ВО. Пусть СВ Х распределена равномерно => её з-н распред-я имеет вид xi-x1-x2-xn; pi-1/n-1/n-1/n.
M(X) = x1/n+x2/n+xn/n = Сумма(хi)/n
D(X) = M(x^2)-[M(X)]^2 = Сумма(хi^2)/n-[Сумма(хi)/n]^2
Биномиальное распределение, его числовые характеристики.
ДСВ Х наз-ся распред-ой по биномиальному з-ну, если проводимые испытания удовлетворяют схеме Бернулли, а в-ть вычисляется по одноименной формуле Pn(X=m) = Cn^m*p^m*q^(n-m); m=[0;n].
X-0-1-2-n; P-q^n-n*p*q^(n-1)-Cn^2*p^2*q^(n-2)-p^n.
Pn(X=1)=Cn^1*p^1*q*(n-1)=p*q^(n-1).
НАПР. Монета брошена 2 раза. З-н распред-я в-тей выпадения герба: Х-0-1-2; Р-0,25-0,5-0,25.
Р2(2)=С2^2*p^2*q^0=(1/2)^2=0,25
P2(1)=C2^1*p*q=2*(1/2)*1/2=0,5
P2(0)=C2^0*q^2=(1/2)^2=0,25
ТЕОРЕМА. Мат ожидание и дисперсия ДСВ, распределенной по биномиал з-ну распред-я, вычисляется по формулам: М(Х) = n*p, D(X) = n*p*q
ДОК-ВО. Пусть СВ Хi – число появлений события А в i-ом испытании (i=[1;n]).
|
|
|
Тогда СВ Х=х1+х2+хn – число появлений события А во всех n испытаниях. Каждая из СВ может иметь один и тот же з-н распределения: xi-0-1; pi-q-p. Тогда М(Хi)=0*q+1*p=p
D(Xi)=M(xi^2)-[M(xi)]^2=0^2*q+1^2*p-p^2 = p-p^2=p(1-p)=pq.
Согласно свойствам мат ожидания и дисперсии
M(X) = M(x1+x2+xn)=M(x1)+M(x2)+M(xn)
D(X) = D(x1+x2+xn)=D(x1)+D(x2)+D(xn)
Т.о. искомые числовые характеристики М(Х) = p+p+p=np; D(X)=pq+pq+pq=npq.
Пуассоновское распределение, его числовые характеристики.
ДСВ Х наз-ся распред-ой по з-ну распр-я Пуассона, если проводимые испытания удовлетворяют теореме Пуассона и в-ть вычисляется по формуле Pn(X=m)= ((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.
X-0-1-m; P-e^(-лямбда)- лямбда*e^(-лямбда)-((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда.
НАПР. На телефон поступает в среднем 2 вызова в ед времени. Среднее число вызовов Т (лямбда=2).
Р(Х=0)=2^0*e^-2/0!=1/e^2=0,1353.
P(X=1)=2^1*e^-2/1!=2/e^2.
P(X=2)=2^2*e^-2/2!=2.
M(X)=D(X)= лямбда=np.
ДОК-ВО. Согласно определениям распр-я Пуассона и мат ожидания имеем
М(Х)=Сумма(от 0 до беск) m*(((лямбда^m)/m!)*e^-лямбда)= Сумма(от 0 до беск) ((лямбда^m)/(m-1)!)*e^-лямбда= лямбда*e^(-лямбда)* Сумма(от 1 до беск)((лямбда^(m-1))/(m-1)!)= лямбда*e^(- лямбда)*e^ лямбда= лямбда.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из курса высшей математики известно, что ряд вида Сумма(от 0 до беск) x^m/m! = 1+x+x^2/2!+…=e^x представляет собой сходящийся на всей числовой оси ряд Маклорена.
|
|
|
НЕТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА D(X)
Геометрическое распределение, его числовые характеристики.
ДСВ Х называю распред-ой по геометрическому з-ну распред-я, если она отражает число проведенных испытаний до первого появления события А. Pn(X=m)=p*q^(m-1), m[1;n].
X-1-2-3; P-p-pq-p*q^2.
НАПР. Р=0,7 до первого попадания.
Х-1-2-3; Р-0,7-0,21-0,063.
Р(Х=1)=0,7
Р(Х=2)=qp=0,3*0,7=0,21
P(X=3)=q^2*p=0,3^2*0,7=0,063.
M(X)=1/p; D(X)=q/p^2. ДОК-ВО. По опред-ю геометрического з-на имеем след з-н распред-я:
Xi-1-2-3; Pi-p-pq-p*q^2.
Тогда M(X) = Сумма(от 1 до беск) xi*pi=p+2pq+3p*q^2+…+mp*q^(m-1)=p*Сумма(от 1 до беск)m*q^(m-1).
D(X) = Сумма(от 1 до беск)xi^2*pi-M^2(x)=p+2^2*pq+3^2*p*q^2+…+m^2*p*q^(m-1)-M^2(x) = p* Сумма(от 1 до беск)m^2*q^(m-1) – M^2(x).
Из теории рядов известно, что
Сумма(от 1 до беск)m*q^(m-1) = 1/(1-q)^2; Сумма(от 1 до беск)m^2*q^(m-1) = (1+q)/(1-q)^3.
Тогда М(Х) = p*1/(1-q)^2=1/p; D(X) = p*(1+q)/p^3-1/p^2=q/p^2.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 526; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!