Равномерное непрерывное распределение, его числовые характеристики.
НСВ наз-ся распред-ой по равномерному з-ну на отрезке [a;b], если ф-ия плотности на этом отрезке постоянна и равна 0 вне этого отрезка, т.е. f(x)=СИСТЕМА (0, x<a; C, a<=x<=b; 0, x>b).
Найдем С. Согласно свойству f(x) (необоснованный интеграл с бесконечными пределами от ф-ии плотности равен 1) имеем:
ИНТЕГРАЛ (-беск до +беск) f(x)dx=1 => ИНТЕГРАЛ (от а до b) f(x)dx=1 => ИНТЕГРАЛ (от а до b)Cdx=1 => Cx | a, b=1 => C=1/(b-a)
f(x)=СИСТЕМА (0, x<a; 1/(b-a), a<=x<=b; 0, x>b).
F(X)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) f(x)dx
1) При x<a, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) 0dx=0
2) При a<=x<=b, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до a)0dx+ ИНТЕГРАЛ (от a до х)1/(b-a)dx=x/(b-a)-a(b-a)
3) При x>b, F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до a)0dx+ ИНТЕГРАЛ (от a до b)1/(b-a)dx+ ИНТЕГРАЛ (от b до х)0dx=x/(b-a) | a, b=b/(b-a)-a/(b-a)=1
F(x)=СИСТЕМА(0, x<a; (x-a)/(b-a), a<=x<=b; 1, x>b).
ТЕОРЕМА. Числовые хар-тики НСВ вычисляются по формулам M(X)=(a+b)/2; D(X)=(b-a)^2/12
M(X)=ИНТЕГРАЛ(от a до b) х*f(x)dx=ИНТЕГРАЛ(от a до b) x*1/(b-a)dx=x^2/2(b-a) | a, b=b^2/2(b-a)-a^2/2(b-a)=[(b-a)*(b+a)]/2(b-a)=(b+a)/2.
D(X)= ИНТЕГРАЛ(от a до b)x^2*f(x)dx-M^2(X)= ИНТЕГРАЛ(от a до b)x^2*1/(b-a)dx-[(b+a)/2]^2= x^3/3(b-a) |a,b – (b-a)^2/4=b^3/3(b-a)-a^3/3(b-a)-(b^2+2ab+a^2)/4=(b-a)(b^2+ab+a^2)/3(b-a)-(b^2+2ab+a^2)/4=(4b^2+4ab+4a^2-3b^2-6ab-3a^2)/12=(b^2-2ab+a^2)/12=(b-a)^2/12.
СКО=(b-a)/2*SQR3
ТЕОРЕМА. В-ть того, что равномерно распр СВ попадет в интервал (c;d) принадлежащий [a;b], вычисляется по формуле P(c<X<d)=(d-c)/(b-a).
P(c<X<d)= ИНТЕГРАЛ(от c до d) 1/(b-a)dx=x/(b-a) |с,d= d/(b-a)-c/(b-a)=(d-c)/(b-a).
Показательное распределение, его числовые характеристики.
НСВ называется распределенной по показательному з-ну, если ф-ия плотности этой СВ имеет вид f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; лямбда*e^-(лямбда*x), x>=0), где лямбда – постоянная + величина.
|
|
|
F(X)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до х) f(x)dx
1) При х<0 F(x)= ИНТЕГРАЛ (от –беск до х)0dx=0
2) При x>=0 F(x)=ИНТЕГРАЛ (от –беск до 0)0dx+ИНТЕГРАЛ (от 0 до х) лямбда*e^-(лямбда*x)dx=1- e^-(лямбда*x).
ИНТЕГРАЛ (от 0 до х) лямбда*e^-(лямбда*x)dx= лямбда*(e^-(лямбда*x) * (-1/лямбда)) |0,x=e^-(лямбда*x) |0,x = - e^-(лямбда*x)+e^0=- e^-(лямбда*x)+1.
Графики плотности и ф-ии распределения
f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; лямбда*e^-(лямбда*x), x>=0) f(x)=СИСТЕМА(0, x<0; 1-e^-(лямбда*x), x>=0)
ГРАФИКИ
ТЕОРЕМА. Для M(X) и D(X) показательного распр-я справедливы рав-ва M(X)=1/лямбда, D(X)=1/лямбда^2
1. Согласно опред-ю M(X)=ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) x*лямбда*e^-(лямбда*x)dx= лямбда*ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) x*e^-(лямбда*x)dx=| u=x, du=dx; dv=e^-(лямбда*x)dx, v=(-1/лямбда)*e^-(лямбда*x)|= лямбда*((-x/лямбда)*e^-(лямбда*x)|0,беск + (1/лямбда)*ИНТЕГРАЛ (от 0 до беск) e^-(лямбда*x)dx)= лямбда((-1/лямбда)*e^-(лямбда*x)) |0, беск = -1/лямбда(0-1)=1/лямбда.
ИНТЕГРАЛ udv=uv- ИНТЕГРАЛ vdu
ИНТЕГРАЛ (от a до b) udv=uv |a, b - ИНТЕГРАЛ(от a до b) vdu
D(X)=1/лямбда^2
D(X)=ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*f(x)dx-M^2(x)= лямбда*ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*e^-(лямбда*x)dx-1/лямбда^2.
Интегрируя 2 раза по частям получим
лямбда*ИНТЕГРАЛ(0 до беск)x^2*e^-(лямбда*x)dx=2/лямбда^2; D(X)= 2/лямбда^2-1/лямбда^2=1/лямбда^2.
|
|
|
В-ть попадания в интервал (a;b) показательного распределенной СВ вычисляется по формуле P(a<x<b)=e^-(лямбда*a)- e^-(лямбда*b).
P(a<x<b)=F(b)-F(a)=1- e^-(лямбда*b)-1+ e^-(лямбда*a)= e^-(лямбда*a)- e^-(лямбда*b).
Нормальное распределение, его числовые характеристики.
Нормальным называют распр-е в-тей НСВ, которое описывается плотностью f(x)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2], где a=M(X).
Данное распред-е определяется двумя параметрами: a и СКО, достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распред-е.
M(X)=a, D(X)=СКО^2
M(X)= ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)x*f(x)dx= ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)x*[(1/CКО*SQR2Пи)*e^-(x-a)/2*СКО^2].
ВВЕДЕМ замену (x-a)/СКО=t => x=a+ СКО*t; dx=(a+ СКО*t)dt= СКОdt
M(X)= ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск) (a+ СКО*t)* (1/CКО*SQR2Пи)*e^-((t^2)/2)*СКОdt=
=a*(1/CКО*SQR2Пи)*CКО*ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск) e^-((t^2)/2)*dt+СКО*(1/CКО*SQR2Пи)* СКО* ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск) e^-(t/2)d(-t^2/2)=a+0=a
D(X)=ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(x-M(x))^2*f(x)dx=ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(x-a)^2*(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]dx.
Вводим замену (x-a)/СКО=t => x=a+СКО*t. dx=(a+СКО*t)^2dt=СКОdt. tв=(+беск-а)/СКО=+беск; tн=(-беск-а)/СКО=-беск.
D(X)=ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(a+СКО*t-a)^2*(1/CКО*SQR2Пи)*e^-((t^2)/2)*СКОdt= СКО^2*(1/CКО*SQR2Пи)*СКО*ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)(t^2)*e^-((t^2)/2)dt.
Интегрируем по частям
u=t, du=dt; dv=t*e^-((t^2)/2)dt, v=-e^-((t^2)/2).
СКО^2*[(1/SQR2Пи)t*-e^-((t^2)/2)|(-беск, +беск) - (1/SQR2Пи)*ИНТЕГРАЛ(-беск до +беск)-e^-((t^2)/2)dt]= СКО^2*[0+1]= СКО^2.
|
|
|
Нормальная кривая, ее свойства. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса)
f(x)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2].
СВОЙСТВА
1. Ф-я определена на всей оси абсцисс (х в степение => х-любое число)
2. При всех знач-ях х ф-ия принимает + значения, т.е. норм кривая расположена над осью Ох (y>0).
3. Предел ф-ии при неограниченном возрастании х (по абсолют величине) равен 0. lim(|x| -> беск)f(x)=0, т.е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой.
4. Исследуем ф-ию на экстремум и промежутки монотонности.
f ‘(x)=((1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2] )’=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]*-(2(x-a))/ 2СКО^2=-[(x-a)/СКО^3*SQR 2Пи]*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]
ГРАФИК
f ‘(x)=0 => -[(x-a)/СКО^3*SQR 2Пи]*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]=0 => x-a=0, x=a
fmax=f(a)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(a-a)^2/2СКО^2]= 1/СКО*SQR 2Пи.
5. Разность (x-a) содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е. график ф-ии симметричен относительно прямой х=а.
6. Исследуем ф-ию на точки перегиба. Найдем вторую производную.
f “=(f ‘(x))’=(-[(x-a)/СКО^3*SQR 2Пи]*e^-[(x-a)^2/2СКО^2])’=
=(1/СКО^3*SQR 2Пи)*[ e^-[(x-a)^2/2СКО^2]+ e^-[(x-a)^2/2СКО^2]*-(2(x-a)^2/2СКО^2)]=
=(1/СКО^3*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2]*(1-((x-a)^2/СКО^2)).
|
|
|
f “=0 => 1-((x-a)^2/СКО^2)=0; (x-a)^2=СКО^2; (x-a)=+-СКО; x1, x2 = a+-СКО
f(a+-СКО)=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(a+-СКО -a)^2/2СКО^2]=(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[СКО^2/2СКО^2]= (1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[1/2]=0,7*(1/СКО*SQR 2Пи).
Графики ф-ий f(x) и f(x-a) имеют одинаковую форму. Сдвинув график в положительном направлении оси Ох на а единиц масштаба при a>0 и в отрицательном при а<0, получим график f(x-a). Отсюда следует, что изменение величины параметра а (мат ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возраст., и влево, если а убыв.
Максимум дифференциальной ф-ии норм распред-я равен 1/СКО*SQR 2Пи. Отсюда следует, что с возрастанием СКО макс ордината норм кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании СКО норм кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси Оу.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 249; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!