Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения вероятностей
называется распределенной по показательному закону с параметром l (l > 0).
Функция распределения показательно распределенной случайной величины X
Графики функций f(x) и F(x) при значениях параметра l, равных 1 и 2, приведены на рисунках 12 и 13.
| 
|
| Рисунок 12 – Графики функции f(x) показательного распределения | Рисунок 13 – Графики функции F(x) показательного распределения |
Несложно доказать, что для случайной величины X, распределенной по показательному закону,
, 
.
Коэффициент асимметрии A[X] = 2.
Коэффициент эксцессаслучайной величины, распределенной по показательному закону, положителен и равен 6: Ex[X] = 6.
Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по показательному закону, примет значение, принадлежащее отрезку [ 
], рана
.
В природе и технике существует множество явлений, которые могут быть, по крайней мере, приближенно, описаны показательным законом распределения. Так, в общем случае, результаты измерений временных показателей хорошо аппроксимируются экспоненциальным распределением. В качестве примеров можно привести измерение продолжительности телефонных переговоров, продолжительность пользования Интернетом, а также различные виды «задач обслуживания» (например, измерение времени безотказной работы оборудования, времени ремонта и т. п.).
|
|
|
Пример 18Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l = 3. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что случайная величина Х примет значения меньше 2. Построить график плотности распределения случайной величины Х.
Решение. Согласно условию l = 3 . Учитывая, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, M[X] = 1/l, определяем M[X] = 1/3= 0,333. Дисперсия 
Функция плотности распределения данной случайной величины X
Определим вероятность того, что величина примет значения меньше 2:
На рисунке 14 штриховкой выделена фигура, площадь которой равна вероятности 
Рисунок 14 – График плотности распределения вероятностей
показательного закона
Нормальный закон распределения
Нормальное распределение (иногда называемое законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике и занимает среди других законов распределения особое положение. Это объясняется целым рядом причин:
|
|
|
1 Многие случайные величины имеют нормальное или близкое к нормальному распределение.
2 Нормальное распределение хорошо подходит в качестве аппроксимации других распределений (например, биномиального).
3 Нормальное распределение обладает рядом математических свойств, во многом обеспечивших его широкое применение в теории вероятностей и математической статистике.
Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей задается формулой
,
где s > 0 и m – параметры распределения.
Основные свойства нормального распределения:
1 Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: m и s. Вероятностный смысл этих параметров таков: m – математическое ожидание, s – среднее квадратическое отклонение рассматриваемой случайной величины. То есть для нормального распределения:
M[X] = m; D[X] = s2; s[X] = s.
2 Кривая нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно прямой x = m, и при x ® –¥ и x ® ¥ эта кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.
Общий вид графика функции плотности распределения вероятностей f(x) для произвольных значений параметров m и s изображен на рисунке 15.
|
|
|
Рисунок 15 – График функции f(x) нормально распределенной
случайной величины
3 Как видно из графика функции f(x), для нормально распределенной случайной величины вероятность получения значений, значительно удаленных от среднего значения m, быстро уменьшается с ростом величины отклонения.
4 Медиана и мода случайной величины, распределенной по нормальному закону, совпадают и равны математическому ожиданию m, xmod = xmеd == M[X] = m.
5 Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормально распределенной случайной величины равны нулю: A[X] = 0; Eх[X] = 0.
Тот факт, что случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m и s, символически записывается X ~ N(m; s). Этой случайной величине соответствует следующая функция распределения вероятностей
.
График функции распределения F(x) изображен на рисунке 16.
На рисунках 17 и 18 изображены графики функции f(x), соответствующие различным значениям параметров m и s.
Рисунок 16 – График функции распределения F(x) нормально распределенной случайной величины
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 279; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!