Законы распределения непрерывных случайных величин.
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина, которая принимает значения, только принадлежащие отрезку [a, b] с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.
Функция плотности распределения вероятностей определяется соотношением
Найдем функцию распределения данной случайной величины:
Графики функций f(x) и F(x) изображены на рисунках 9 и 10.
| 
|
| Рисунок 9 – График функции f(x) равномерного распределения | Рисунок 10 – График функции F(x) равномерного распределения |
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по равномерному закону на участке [a, b], как следует из механической интерпретации (центр массы), равно абсциссе середины участка: M[X] = (a + b)/2. Этот же результат можно получить и вычисляя интеграл:
Дисперсию случайной величины X также можно найти, исходя из механической интерпретации (момент инерции распределения относительно центра массы): D[X] = (b – a)2/12. Тот же результат можно получить, вычисляя интеграл:
.
Среднее квадратическое отклонение равномерно распределенной случайной величины
Моды равномерное распределение не имеет; его медиана из соображений симметрии равна (a + b)/2. Из тех же соображений симметрии коэффициент асимметрии A[X] = 0. Коэффициент эксцесса случайной величины X равен –1,2: Ex[X] = –1,2; как и следовало ожидать, он отрицателен.
|
|
|
Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по равномерному закону, примет значение, принадлежащее отрезку [ 
], рана
.
Примером случайной величины, которая имеет равномерный закон распределения, является время ожидания регулярных событий, например, время ожидания поезда в метрополитене, время ожидания автобуса определенного маршрута на остановке.
Рассмотрим несколько примеров случайных величин, имеющих равномерное распределение. При проведении измерений некоторой величины с помощью прибора с крупными делениями ошибки округления распределены по равномерному закону. Очевидно, что равномерное распределение имеют и ошибки, возникающие от округления данных при расчетах.
Пример 18Поезда метрополитена идут с интервалом в 4 минуты. Пассажир приходит на платформу поезда в произвольный момент времени. Найти вероятность того, что он будет ожидать прихода поезда не более одной минуты. Найти среднее время ожидания поезда пассажиром, вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда пассажиром.
|
|
|
Решение. Рассмотрим случайную величину X – время ожидания пассажиром поезда. Все возможные значения данной случайной величины принадлежат отрезку [0; 4], и, согласно условию, все эти значения равновозможны. Следовательно, случайная величина распределена по равномерному закону с параметрами a = 0 и b = 4. Функция плотности распределения вероятностей данной случайной величины:
Найдем вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд не более одной минуты:
На рисунке 11 штриховкой выделена фигура, площадь которой равна вероятности 
Рисунок 11 – График плотности распределения вероятностей
случайной величины X – времени ожидания пассажиром поезда
Среднее время ожидания прихода поезда пассажиром
M[X] = (a + b)/2 = (0 + 4)/2 = 2,0 [мин].
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 271; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!