Экспоненциальное распределение
Точечное оценивание:
– средняя наработка
| ^ | 1 ^ | , | (2.1) | |
| Т= | ||||
| λ |
160
^
где λ - точечная оценка параметра экспоненциального распределения;
– интенсивность отказов
| ^ | ^ | ||||
| λ (t )= λ ; | (2.2) | ||||
| – гамма-процентная наработка | |||||
| ^ | 1 | ⋅ln 1 | ; | (2.3) | |
| Тγ = | |||||
| ^ | γ | ||||
| λ | |||||
| – вероятность безотказной работы | |||||
| ^ | ^ | ||||
| Р( t )= e −λt . | (2.4) | ||||
Определение нижней доверительной границы (НДГ) сред-ней наработки и гамма-процентной наработки при плане [NUN]:
| ^ | 2 ( N −1) ; | (2.5) | |||||||||
| Т | = Т ⋅ | ||||||||||
|
| χ2 | ||||||||||
| q ;2N | |||||||||||
| ^ | 2 ( N −1) | 1 | ; | (2.6) | |||||||
| Т γ = Т ⋅ | χq2 ;2 N | ⋅ln | γ | ||||||||
| при плане [NUT] | N=r; | ||||||||||
| при плане [NUz] | (N–1)=N. | ||||||||||
Пример 2.1.
При проведении исследований на надёжность карданного вала формирующего ролика моталки были получены следующие значения наработок в сутках: 1, 4, 26, 5, 15, 5, 8, 3, 12, 5. Найти точечные и интервальные оценки показателей безотказности в случае экспоненциального распределения.
|
|
|
Решение:
Используя формулы (2.1) и (2.3), найдем точечные оценки
для:
– средней наработки до отказа
| ^ | 1 | 1 | = 9,35 сут; | ||
| Т = | = | ||||
| ^ | 0107, | ||||
| λ |
– гамма-процентной наработки для γ=0,8
161
| ^ | = | 1 | ⋅ ln | 1 | = 21, сут; | ||
| Т0 , 8 | ^ | ||||||
| λ | 0,8 | ||||||
Используя формулы (2.5), (2.6), найдём НДГ для:
– средней наработки до отказа для q =0,8
Т =Т^ ⋅ 2( N −1 ) = 9.35·2(10 −1) / 25.03 = 6 ,72 сут.;
χ q;22N
значение квантили χ2 q;N находим из табл. 5, прил. Б;
– гамма-процентной наработки для ( γ=0,8, q =0,8 )
| T | ^ | ⋅ | 2(N −1) ⋅ln 1 | = 6.72ln 1 | =1,5 сут. | |||
| = Т | γ | 0.8 | ||||||
| 0.8 | χq2; 2N |
То есть истинное значение средней наработки до отказа при доверительной вероятности q=0,8 не ниже 6,72 сут.
И если мы хотим обеспечить безопасную работу с вероят-ностью γ=0,8, то необходимо осуществлять замену карданного вала через 1,5 сут либо иметь к этому моменту времени кардан-ный вал, готовый к замене.
|
|
|
С другой стороны, такие значения показателей безотказно-сти характеризуют крайне низкий уровень надёжности и требует-ся разработка технических решений по увеличению средней на-работки до отказа.
| Нормальное распределение | ||
| Точечное оценивание: | ||
| – средняя наработка | ||
| ^ | ^ | |
| Т = µ ; | (2.7) | |
| – гамма-процентная наработка | ||
| Τ€ | = µ€ −u ·σ€, | (2.8) |
| γ | γ | |
| где uγ - | значение квантили «u»порядка γ | ; |
– интенсивность отказов
162
| ^ |
| ||||||||||||||||
| ϕ | µ−t |
| |||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||
| ^ | ^ | ||||||||||||||||
|
| σ |
|
| ; | (2.9) | ||||||||||||
| λ( t ) = | |||||||||||||||||
|
| ^ |
| |||||||||||||||
| ^ |
| µ−t |
| ||||||||||||||
|
| σ | Φ |
|
| |||||||||||||
| ^ | |||||||||||||||||
|
| σ |
| |||||||||||||||
| – вероятность безотказной работы | |||||||||||||||||
| ^ | ^ | ||||||||||||||||
|
| µ−t | ||||||||||||||||
| Р ( t) = Φ |
|
| , | (2.10) | |||||||||||||
| ^ | |||||||||||||||||
| σ | |||||||||||||||||
где значение квантили “u” порядка γ - из табл. 3, прил. Б; значение функции ϕ(z) - из табл. 2, прил. Б;
значение функции Лапласа Φ(z) - из табл. 1, прил. Б.
Определение нижней доверительной границы (НДГ) сред-ней наработки до отказа и гамма-процентной наработки при пла-
не [NUN]:
| ^ | ||||||
| ^ | σ ; | (2.11) | ||||
| Т = Т−t q ; ( r −1 ) ⋅ | ||||||
| r | ||||||
| ^ | ^ | |||||
| Т γ = | Т−k γ; q ;r σ ,
| (2.12) | ||||
где tq ; (r–1) -квантиль распределения Стьюдента (табл. 4, прил. Б);
kγ; q ; r-коэффициент,значения которого приведены в табл.9, прил. Б;
| при плане [NUN] | r=N; | |||
| при плане [NUz] | ∧ | |||
| r = N 1 | − P(t z ) . | |||
Пример 2.2.
При проведении испытаний на надёжность карданного ва-ла формирующего ролика моталки по плану [NUz] было зафик-
163
сировано 4 плановых и 10 аварийных замен и получены сле-дующие наработки после упорядочения исходной выборки 4*, 5, 6*, 7, 8, 9, 9, 10, 10*, 12, 12, 12*, 15, 21 (звездочкой обозначены наработки до цензурирования). Найти точечные и интервальные оценки показателей безотказности, если известно, что выборка описывается нормальным распределением.
Решение:
В соответствии с зависимостями (2.7)-(2.10) получим то-чечные оценки:
– средняя наработка до отказа
^ ^
= µ =10 сут;Т
– гамма-процентная наработка для γ=0,8,
| € | = µ€ −u0.8σ€ =10 − 0.853· | = 7.45 сут, | |
| T0.8 |
значение квантили u0,8 находим из табл. 3, прил. Б;
– интенсивность отказов для t=7 сут
| µ) −t | ||||||||||||||||
| ) | ϕ | ) | ϕ( 1 ) | 0,242 | ||||||||||||
| σ | ||||||||||||||||
| λ( t =7 ) = | µ) − t | = |
| = | = 0,096; | |||||||||||
| ) | 3Φ( 1) | 3x0,841 | ||||||||||||||
| σ | Φ | ) | + 0 ,5 | |||||||||||||
|
| σ | |||||||||||||||
| – вероятность безотказной работы для t=7 сут | ||||||||||||||||
|
| ) |
| 10 − 7 | |||||||||||||
| µ − t | ||||||||||||||||
| P(t) = Φ | ) | + 0,5 | = Φ |
| + 0,5 = 0,841. | |||||||||||
| 3 | ||||||||||||||||
| σ |
| |||||||||||||||
Значение функции ϕ(z) находим из табл. 2, значение функ-ции Лапласа Φ(z) из табл. 1, прил. Б.
Найдём НДГ средней наработки до отказа и гамма-процентной наработки по зависимостям (2.11), (2.12) план [NUz], q=0,9,γ=0,75.
| ^ | |||||||
| ^ | σ | 3 | = 8 ,9 сут; | ||||
| Т | = Т−t 0 , 9 ; ( 10 −1 ) ⋅ | =10 −1, 372 х | |||||
| r | 10 | ||||||
| ^ | ^ | ||||||
| Т γ | = Т−k 0 , 75 ; 0, 9 ;10 | ⋅σ =10 −1, 671х3 | = 5,0 сут. | ||||
164
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!