ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ
151
Глава 1. Определение параметров планов испытаний
Для выбранного плана испытаний необходимо установить объём выборки N, который определяет точность и достоверность оценки оцениваемого параметра распределения или показателя надёжности.
Необходимый объём выборки для оценки средней нара-ботки до отказа может быть определён по следующим формулам
в случаях:
- экспоненциального распределения (b=1), распределения Вейбулла:
| 2 N | = ( δ +1 )b | ( планы [NUN] и [NUz] ); | (1.1) | |
| χ2 | ||||
| 1−q( 2 N ) |
| 2r | = (δ +1)b ; r=v*N (план [Nur]); | |||||||||
| χ2 | ||||||||||
| (1−q);2r | ||||||||||
| - нормального распределения: | ||||||||||
| tq;( N −1) | δ | ( планы [NUN] | и [NUz] ); | |||||||
| = ν | ||||||||||
| N | ||||||||||
| tq;( r−1 ) | = | δ | ; r=v*N(план[Nur]); | |||||||
| r | ν | |||||||||
- логарифмически нормального распределения:
(1.2)
(1.3)
(1.4)
| u | q | 2 | |||||||
| N= |
| ln(ν 2+1)
| 1 + 0.5ln(ν 2 | +1) . | (план[NUN]) (1.5) | ||||
| δ | |||||||||
Здесь v – степень цензурирования;
tq –квантиль распределения Стьюдента(табл. 4,
прил. Б);
u q–квантиль нормального распределения(табл. 3,
прил. Б);
ν – коэффициент вариации; δ - относительная ошибка.
При выборе значений δ, q и ν можно пользоваться ниже-следующими рекомендациями.
152
Рекомендации по выбору значенийδ и q
| δ | q | |
| Изделие в целом | 0,15 - 0,20 | 0,80 - 0,90 |
| Базовая деталь | 0,10 - 0,15 | 0,90 - 0,95 |
| Детали, обеспечивающие | ||
| безопасность изделия | 0,05 | 0,95 - 0,99 |
Рекомендации по выбору значения коэффициента вариации ν Необходимость проведения капитального ремонта 0,3 - 0,6
| Предельный износ | 0,3 - 0,4 |
| Разрушение: | |
| - обусловленное сочетанием износа, | |
| усталости, коррозии | 0,3 - 0,4 |
| - от усталости при изгибе, кручении | 0,3 - 0,5 |
| - крепёжных соединений | 0,7 - 0,8 |
| - от контактной усталости | 0,6 - 0,7 |
Объём выборки при плане [NUN] может быть найден для:
- нормального распределения по графикам на рис. 1.1 и
рис. 1.2;
- экспоненциального распределения по табл. 1.9;
- распределения Вейбулла по табл. 1.1 – 1.3;
|
|
|
- логарифмически нормального распределения по табл.1.8.
В случае экспоненциального распределения можно найти продолжительность испытаний по следующим зависимостям:
- при плане [NUT]:
| Т=Тср..ln1,781N; | (1.6) | ||||||
| - при плане [NUz]: | |||||||
| Т= | 1 | ⋅ln 1,7 8 1N ; | µ= | 1 | , | (1.7) | |
| λ + µ | |||||||
| τ | |||||||
| где | λ– интенсивность отказов; | ||||||
| τ– средняя наработка до цензурирования. | |||||||
153
| ε =0,05 | ||||
| 0,1 | ||||
| 0,2 | ||||
| 0,3 | ||||
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0 |
| q=0.8 | q=0.85 | q=0.9 | |||||||
| q=0.95 | |||||||||
| q=0.99 | |||||||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| N | |||||||||
| Рис.1.1. Номограмма по определению числа объектов испытания N | ||||||
| при плане [NUN] и нормальном распределении для оценки среднего | ||||||
| ε =0,05 | 0,1 | 0,2 0,3 0,4 | ||||
| 0,3 | ||||||
| 0,2 | ||||||
| 0,1 | ||||||
| 20 | ||||||
| 40 | ||||||
| 10 | 60 | |||||
| 80 | ||||||
| 20 | 100
| |||||
| 30 | 110 | |||||
| q=0.80 | 120 | |||||
| 40 | ||||||
| 50 | M | |||||
| 0.90 | ||||||
| 60 | ||||||
| 70 | ||||||
| 0.95 | 0.99 | N | ||||
| Рис.1.2. Номограмма по определению числа объектов испытаний N | ||||||
| при плане [NUN], нормальном распределении и ограниченном объеме | ||||||
| совокупности М для оценки среднего | ||||||
154
При плане [NUT] для заданного объёма выборки N опре-деляется продолжительностью испытаний T из выражения:
T= Тср · x , (1.8)
где x - относительная продолжительность испытаний в долях средней наработки до отказа;
Тср –ориентировочное значение оцениваемой среднейнаработки до отказа.
Значения х определяют по формулам:
| - для нормального распределения | |||||||
| x =1−u v·ν; | v = | r | ; | (1.9) | |||
| N
| |||||||
- для экспоненциального распределения (b=1) и распреде-ления Вейбулла
| N +0 .51 b | |||||||
| ln | − r + | (1.10) | |||||
| x = | N | 0 .5 | , | ||||
| Γ |
| 1 | |||||
| 1 + | |||||||
| b | |||||||
где u v – квантиль нормального распределения уровня v; N –заданный объём выборки;
r –прогнозируемое число отказов(предельных со-стояний), определяемое по рис. 1.1 и 1.2 и табл. 1.1 – 1.9;
b –параметр формы распределения Вейбулла;
- при плане [NMT]:
| v = | r | ; | (1.11) | |
| N | ||||
где r– прогнозируемое число отказов, определяемое по табл. 1.9.
155
Таблица 1.1
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и распределении Вейбулла при планировании по предельной относительной ошибке
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 13 | 25 | 32 | 50 | 50 | 65 | 100 | ||
| 0,90 | 32 | 50 | 65 | 100 | 125 | 150 | 200 | |||
| 0,15 | 0,80 | 6 | 10 | 15 | 20 | 25 | 32 | 40 | ||
| 0,90 | 15 | 25 | 32 | 40 | 65 | 80 | 80 | |||
| 0,20 | 0,80 | 5 | 8 | 10 | 15 | 20 | 20 | 25 | ||
| 0,90 | 10 | 15 | 20 | 32 | 40 | 40 | 50 | |||
Таблица 1.2
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и распределении Вейбулла
при планировании по нижней доверительной границе
| δ | q | 2.7 | 2.1 | 1.7 | 1.45 | 1.26 | 1.1 | 1 |
| 0,10 | 0,80 | 6 | 10 | 17 | 24 | 33 | 45 | 57 |
| 0,90 | 16 | 28 | 45 | 63 | 85 | 115 | 139 | |
| 0,15 | 0,80 | 2 | 3 | 6 | 9 | 12 | 18 | 21 |
| 0,90 | 6 | 11 | 17 | 25 | 33 | 45 | 55 | |
| 0,20 | 0,80 | 1 | 1 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 0,90 | 3 | 5 | 8 | 12 | 17 | 22 | 28 |
Таблица 1.3
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и M = 10 для распределения Вейбулла
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | ||
| 0,90 | 5 | 6 | 7 | 7 | 7 | 8 | 8 | |||
| 0,15 | 0,80 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||
| 0,90 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | |||
| 0,20 | 0,80 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | ||
| 0,90 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | |||
156
Таблица 1.4
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и M = 20 для распределения Вейбулла
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | ||
| 0,90 | 8 | 10 | 12 | 13 | 14 | 15 | 15 | |||
| 0,15 | 0,80 | 2 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | ||
| 0,90 | 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |||
| 0,20 | 0,80 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 5 | 5 | ||
| 0,90 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | 9 | |||
Таблица 1.5
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и M = 30 для распределения Вейбулла.
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | ||
| 0,90 | 9 | 13 | 16 | 18 | 19 | 21 | 22 | |||
| 0,15 | 0,80 | 2 | 2 | 4 | 6 | 7 | 10 | 10 | ||
| 0,90 | 5 | 7 | 9 | 12 | 13 | 15 | 16 | |||
| 0,20 | 0,80 | 1 | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 | 6 | ||
| 0,90 | 2 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 | 12 | |||
Таблица 1.6
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и M = 40 для распределения Вейбулла
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 5 | 7 | 11 | 13 | 16 | 18 | 21 | ||
| 0,90 | 10 | 15 | 19 | 22 | 24 | 26 | 27 | |||
| 0,15 | 0,80 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 | 11 | 12 | ||
| 0,90 | 5 | 8 | 11 | 14 | 16 | 18 | 20 | |||
| 0,20 | 0,80 | 1 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
| 0,90 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | |||
157
Таблица 1.7
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и M = 50 для распределения Вейбулла
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 21 | 24 | ||
| 0,90 | 11 | 16 | 21 | 25 | 28 | 31 | 33 | |||
| 0,15 | 0,80 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 12 | 13 | ||
| 0,90 | 5 | 8 | 12 | 15 | 17 | 21 | 22 | |||
| 0,20 | 0,80 | 1 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
| 0,90 | 3 | 4 | 6 | 9 | 11 | 13 | 16 | |||
Таблица 1.8
Число объектов испытаний N при плане [NUN] и логарифмически нормальном распределении
| δ | q | N при ν | ||||||||
| 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | ||||
| 0,10 | 0,80 | 10 | 20 | 25 | 32 | 40 | 50 | 65 | ||
| 0,90 | 25 | 40 | 65 | 80 | 100 | 125 | 150 | |||
| 0,15 | 0,80 | 5 | 8 | 10 | 15 | 20 | 25 | 32 | ||
| 0,90 | 13 | 20 | 25 | 40 | 50 | 50 | 65 | |||
| 0,20 | 0,80 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 15 | 20 | ||
| 0,90 | 6 | 10 | 15 | 20 | 25 | 32 | 40 | |||
| Таблица 1.9 | ||||||
| Число отказов r в N испытаниях для планов [NMr] и [NMT] | ||||||
| δ | r | при q | ||||
| 0,50 | 0,80 | 0,90 | 0,95 | |||
| 0,05 | 8 | 331 | 684 | 1052 | ||
| 0,10 | 7 | 88 | 217 | 346 | ||
| 0,15 | 6 | 56 | 114 | 170 | ||
| 0,20 | 5 | 29 | 59 | 116 | ||
Пример 1.1.
Определить необходимый объём выборки для комплекта вкладышей универсального шпинделя, чтобы с доверительной вероятностью q=0,9 ошибка при оценивании средней наработки до отказа не превышала δ=0,1.
158
Решение.
Принята система технического обслуживания, при которой комплект вкладышей заменяется при достижении шарниром мак-симально допустимой величины износа. Следовательно, испы-тания шарнира шпинделя по определению средней наработки могут быть отнесены к плану [NUN] и допустимо предположение о принадлежности выборки по наработкам к нормальному рас-пределению.
В соответствии с рекомендациями принимаем ν=0,4 (пре-дельный износ), а по графику (см.рис. 1.1) находим N=25.
Таким образом, для оценивания средней наработки до от-каза с доверительной вероятностью q=0,9 и ошибкой δ=0,1 необ-ходимо иметь данные о наработках не менее 25 комплектов вкладышей.
Пример 1.2.
При плане [NUN] определить необходимый объём выборки для оценивания средней наработки до отказа шпинделя линии привода валков q=0,9; δ=0,1. Известно, что выборка принадле-жит распределению Вейбулла с коэффициентом вариации ν=0,8. Предполагается, что общее число замен шпинделей за время эксплуатации линии привода валков не превысит 10 шт.
Решение.
Так как мы имеем ограниченный объём совокупности (10 шпинделей), то по табл. 3 находим N=7 шт.
Таким образом, произвести оценивание средней наработки на отказ шпинделя линии привода валков с доверительной веро-ятностью q=0,9 и ошибкой δ=0,1 мы сможем, только имея данные о наработках до отказа 7 шпинделей.
Пример 1.3.
При плане [NUT] определить продолжительность испыта-ний карданного вала линии привода формирующего ролика мо-талки для оценивания средней наработки до отказа с довери-тельной вероятностью q=0,9 и ошибкой δ=0,1. Предположитель-но выборка принадлежит к распределению Вейбулла с парамет-ром b=2. Ориентировочное значение средней наработки до отка-за Т ср =25 сут.
Решение.
Из зависимости (1.8):
159
Т=Тср⋅х=25х0,617=17,4сут.
| По формуле (1.10) находим | |||||||||||||||
| N +1.5 | 1b | 50 + 0.5 | 12 | 50.5 | 0.5 | ||||||||||
| ln | N − r +0.5 |
| ln | 50 −16 + 0.5 |
| ln |
| ||||||||
| 34.5 | |||||||||||||||
| = 0,697 . | |||||||||||||||
| x = | Γ(1 + 1b) | = | − |
| |||||||||||
| Γ(1 +1 2) | 0.886 | ||||||||||||||
Принимаем N=50 шт. в предположении, что такое количе-ство замен будет произведено в течение трёх лет. Тогда по табл. 7 находим r=16.
Но так как на испытания ставятся не все 50 карданных валов одновременно, а последовательно один за другим, то общая продолжи-тельность испытания составит
Τ Σ=17,4 х 50= 870 суток или 2,4 года.
Если же осуществить оценивание с доверительной веро-ятностью q=0,8 и ошибкой δ=0,2 , то r=8 и
Т=25 х 0,469=11,7 сут.,
а общая продолжительность испытаний составит
Τ Σ=11,7 х 50=586 (сут) ≈ 1,6 года.
Глава 2. Оценивание показателей безотказности
2.1. Оценивание показателей безотказности на основе параметрических методов
Когда известен вид закона распределения наработки до отказа, то точечное и интервальное оценивание показателей безотказности осуществляется по нижеприведенным формулам в зависимости от вида распределения.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!