Необходимое условие монотонности

F(x)-дифференцируемая функция; если f(x) – возрастает(убывает), то

Достаточное условие монотонности

если f(x) – возрастает(убывает), то

доказательство – формула Лангранжа

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции в точке. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Точка Х₀ называется точкой локального минимума (максимума) функции f(x), если f(x₀)< f(x)(f(x₀)>f(x)) для всех точек Х из данной окрестности в точке Х₀.

Общее название – локальный экстремум.

Теорема 3. (необходимое условие существования экстремума)

Если дифферинцируемая функция имеет экстремум в точке Х₀, то f ‘(x)=0 (следствие теоремы ферма)

Следует: функция может иметь экстремум в точке, в которой производная равна 0 или не существует, такие точки называются критическими.

Теорема 4. (первое достаточное условие существования экстремума).

f(x) дифферинцируема в точке x₀ f ‘(x)=0.

Если при переходе через точку x₀ производная изменяет знак, то в точке x₀ существует экстремум, а именно max, если с + на – и min, если с – на + .

Теорема 5. (второе достаточное условие существования экстремума).

f(x)-дважды дифферинцируема и f ‘(x)=0.

Если f ‘’(x₀)<>0, то в точке x₀ существует экстремум, причем min, если f ‘’(x₀)>0 и max, если f ‘’(x₀)<0.

f ‘’(x₀)=lim(f’(x₀+∆x)- f ‘(x₀))/∆x=lim(f ‘(x)/(x-x₀)>0 =>

f ‘(x) >0, если x>x₀ и

f ‘(x)<0, если x< x₀

Асимптоты графика функции и их нахождение

Прямая x=a является вертикальной асимптотой для графика функции f(x), если хотя бы один из пределов: бесконечен.(x=a – точки разрыва 2-го рода).

Прямая у=kx+b является асимптотой функции f(x), если функцию можно представить в виде:

Ищем k и b

Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба. Общая схема исследования функции.

Общая схема исследования функции:

1. D (f)-область определения функции. Четность и нечетность.

2. Асимптоты.

3. Исследование функции на монотонность и экстремумы.

4. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

5. Вычисление значений функции в точках экстремумы, перегиба, некоторых других точках. Точки пересечения с осями координат.

6. Таблица и график.

Исследование функции на выпуклость.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на промежутке (А, В), если для любой точки с координатами x и f(x), x€(a,b) график лежит под (над) касательной.

Если f’’(x)<0, f’’(x)>0

Функции нескольких переменных. Частные производные.

Z=x2+y2 - элептический пораболоид

Z=x2-y2 - гиперболический пораболоид

Z=f(x,y) предел: