Теорема Кронекера-Капелли. Схема разрешимости произвольных систем линейных уравнений. Свободные и базисные переменные.



Разрешимость произвольных систем линейных уравнений.

(*): Am x n * X n=B m

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы и системы совпадал с рангом расширенной матрицы системы.

Система  совместна и из этого следует:

r ( Am x n)= r(Am x n / B m)

 

 

Следствие 1: если ранги не равны, то система не совместна

r ( A) r (A|B)

Следствие 2: если ранги совпадают между собой r ( Am x n)= r (Am x n |B m)=n (n-число неизвестных), то решение единственно.

Следствие 3: если ранги совпадают с рангом расширенность, но меньше чем n, то решений бесконечное множество.

r ( Am x n)= r (Am x n / B m)<n

 (r – базисный и (n-r)-свободных переменных).

0
r 0 0.5 0.8 1 1.6 2.1 2.4 2.6 3.1

 

Схема разрешимости однородных систем линейных уравнений. Исследование столбцов на линейную независимость.

Однородные системы линейных уравнений.

 

0
r 0 0.13 0.29 0.5 1 1.5 1.71 1.87 2

Утверждение1: Однородная система всегда совместна (т.к. всегда есть нулевое решение или

Утверждение2: Для системы

Если det , то нулевое решение единственно т.к.

Уверждение3: Если det A=0, то решений бесконечно много.

 
Однородная система уравнений  

 


 


Исследование столбцов на линейную независимость

- линейная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными.

Вычисляем определитель матрицы, состоящей из данных столбцов: det A.

Если det A 0, то единственное => решение =>столбцы линейно независимы.

Если det A=0, то система имеет не нулевые решения =>столбцы линейно зависимы.

 

Декартова система координат на плоскости. Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении

Декартова система координат на плоскости.

Простейшие задачи:         

1.Расстояние между точками:         

2.Деление отрезков в данном отношении:

 

 

1

 2.

(По двум углам) ; ; ;

;

;

; .

M является серединой AB, то её координаты

M ;

 

Линия на плоскости. Составление уравнения кривой на плоскости.

- линия первого порядка (прямая)

-линия второго порядка 

Окружность-это геометрическое место точек равноудалённых (на растояние R) от данной точки, называемой центром.

Пусть М(х,у)- произвольная точка кривой

-центр R =R

окружность с центром в точке и радиусом R.

 

- окружность R=2

- точка геом. объекта

- оси Оу и Ох

у=х или у=-х пара прямых 

 

 

Полярная система координат на плоскости.Изображения кривых в полярной системе координат.

 

y

           Точка О- полюс

- полярная ось                                  

 Связь с декартовыми координатами

 

                                                                                                                                                                                                 


 

- спираль Архимеда

- кардиоида

 

- лепестковая роза

 (1-ый лепесток)

 (2-ой лепесток)

0
r 0 a 3a a a 0

 

Парабола – геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (фокус) до данной прямой (директриса).

 

Пусть M(X;Y) - производная точка искомой кривой

|MF|=|MK| ;

 

2px-каноническое уравнение параболы; E(эксцентриситет)=1

 r=|MF| - фокальный радиус точки M

r=

 x= – уравнение директрисы

 

Пример:

 

 

 

Векторы и операции над ними

Вектор – направленный отрезок.

          

 

Модуль вектора - расстояние между его концами.

 

Если модуль вектора равен 0(1), то он называется нулевым (единичным)

Коллинеарные – векторы лежащие на одной прямой.

Векторы могут быть сонаправлены и противонаправлены.

Теорема 1 – Два ненулевых вектора коллинеарны только тогда, когда они линейно зависимы(пропорциональны)

Теорема 2 – Три вектора называются компланарными , если параллельны одной и той же плоскости или лежат в ней.

Следствие – неколлинеарная пара                                                                     

 


Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 324; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!