Теорема Кронекера-Капелли. Схема разрешимости произвольных систем линейных уравнений. Свободные и базисные переменные.
Разрешимость произвольных систем линейных уравнений.
(*): Am x n * X n=B m
Теорема Кронекера-Капелли:
Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы и системы совпадал с рангом расширенной матрицы системы.
Система совместна и из этого следует:
r ( Am x n)= r(Am x n / B m)
Следствие 1: если ранги не равны, то система не совместна
r ( A) r (A|B)
Следствие 2: если ранги совпадают между собой r ( Am x n)= r (Am x n |B m)=n (n-число неизвестных), то решение единственно.
Следствие 3: если ранги совпадают с рангом расширенность, но меньше чем n, то решений бесконечное множество.
r ( Am x n)= r (Am x n / B m)<n
(r – базисный и (n-r)-свободных переменных).
0 | |||||||||
r | 0 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.6 | 2.1 | 2.4 | 2.6 | 3.1 |
Схема разрешимости однородных систем линейных уравнений. Исследование столбцов на линейную независимость.
Однородные системы линейных уравнений.
0 | |||||||||
r | 0 | 0.13 | 0.29 | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.71 | 1.87 | 2 |
Утверждение1: Однородная система всегда совместна (т.к. всегда есть нулевое решение или
Утверждение2: Для системы
Если det , то нулевое решение единственно т.к.
Уверждение3: Если det A=0, то решений бесконечно много.
|
Исследование столбцов на линейную независимость
- линейная однородная система трех уравнений с тремя неизвестными.
|
|
Вычисляем определитель матрицы, состоящей из данных столбцов: det A.
Если det A 0, то единственное => решение =>столбцы линейно независимы.
Если det A=0, то система имеет не нулевые решения =>столбцы линейно зависимы.
Декартова система координат на плоскости. Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении
Декартова система координат на плоскости.
Простейшие задачи:
1.Расстояние между точками:
2.Деление отрезков в данном отношении:
1
2.
(По двум углам) ; ; ;
;
;
; .
M является серединой AB, то её координаты
M ;
Линия на плоскости. Составление уравнения кривой на плоскости.
- линия первого порядка (прямая)
-линия второго порядка
Окружность-это геометрическое место точек равноудалённых (на растояние R) от данной точки, называемой центром.
Пусть М(х,у)- произвольная точка кривой
-центр R =R
окружность с центром в точке и радиусом R.
- окружность R=2
- точка геом. объекта
- оси Оу и Ох
у=х или у=-х пара прямых
Полярная система координат на плоскости.Изображения кривых в полярной системе координат.
y
Точка О- полюс
- полярная ось
|
|
Связь с декартовыми координатами
- спираль Архимеда
- кардиоида
- лепестковая роза
(1-ый лепесток)
(2-ой лепесток)
0 | |||||||
r | 0 | a | 3a | a | a | 0 |
Парабола – геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (фокус) до данной прямой (директриса).
Пусть M(X;Y) - производная точка искомой кривой
|MF|=|MK| ;
2px-каноническое уравнение параболы; E(эксцентриситет)=1
r=|MF| - фокальный радиус точки M
r=
x= – уравнение директрисы
Пример:
Векторы и операции над ними
Вектор – направленный отрезок.
Модуль вектора - расстояние между его концами.
Если модуль вектора равен 0(1), то он называется нулевым (единичным)
Коллинеарные – векторы лежащие на одной прямой.
Векторы могут быть сонаправлены и противонаправлены.
Теорема 1 – Два ненулевых вектора коллинеарны только тогда, когда они линейно зависимы(пропорциональны)
|
|
Теорема 2 – Три вектора называются компланарными , если параллельны одной и той же плоскости или лежат в ней.
Следствие – неколлинеарная пара
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 324; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!