Декартова система координат в пространстве. Координаты точки и вектора. Направляющие косинусы. Канонический базис.



 

 

Векторное произведение векторов: определение, свойства и вывод формулы в координатах.

 

 если:

, где

Вектор ориентирован в пространстве по правилу буравчика.

Свойства:

 

 - условие коллинеарности векторов.

 

Вывод формулы

           

Смешанное произведение векторов: определение, свойства и вывод формул.

 

 

Свойства:

2) , , компланарны

 

Вывод уравнения плоскости в пространстве. Нормаль. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Точка M0 и нормаль однозначно определяют плоскость

Пусть  - произвольная точка искомой плоскости.

 - векторное уравнение плоскости

 

 


Расстояние от точки  до плоскости :

Углы между плоскостями – углы между нормалями:

Условие параллельности плоскостей:

 

Условие перпендикулярности плоскостей:

 

Вывод канонического уравнения прямой в пространстве. Формы задания прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

 

Пусть - произвольная точка искомой прямой.

- параметрическое уравнение прямой, (t – параметр)

Уравнение прямой AB:  

Прямая как линия пересечения плоскостей.

 

Угол между прямыми

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

 

 

Угол между плоскостью и прямой:

;

Условие параллельности плоскостей:

;

Условие перпендикулярности плоскостей:

;

 

Поверхности 2 порядка и их сечения: эллипсоид и конус.

 

 

 

 

 

 

Z=0: - эллипс в плоскости z=c\2

X=0: эллипс в плоскости x=0
y=0

 

: Конус

 

Сечения:

Z=0:  точка (0; 0; 0)

Z=+-c:

Z=+-2c:

X=0:

Y=b:

Поверхности 2-го порядка и их сечения:

Однополостный и двуполостный гиперболоиды.

Однополостный гиперболоид

Сечения: Эллипс

 

Двуполостный гиперболоид

Сечения: точки (0;0;c) и (0;0;-c)

-эллипс

 

 

Поверхности 2-го порядка и их сечения:

Эллиптический и гиперболический параболоиды.

Эллиптический параболоид

 

Гиперболический параболоид

 

Понятие и примеры числовых последовательностей. Монотонные и ограниченные последовательности. Предел числ. послед-сти.

Числ. последовательность называется функция, заданная на множестве натур. чисел N. F(n)=an – общ. член числ. послед.


                           

 

: 1; 1/2; 1/3; 1/4; …; 1/100… à0

                                       nà ∞

: 1;4;8;16;… ;100… à∞

                       nà ∞

: -1;1;-1;1… нет предела

 

 

: -1/2;1/4;-1/8;1/16;… à0

                           nà ∞

 

: 2;5/2;8/3;11/4; … à3

                           nà ∞

 

 

  a1              a2       0              a3

                   x

-1/2          -1/8    1/16          1/4

 

Число а назыв-ся пределом числовой послед-сти    (Lim an=A) ,

                                                                                       nà∞

если    E>0   N такой, что  n>N выполняется (an-A)<E (разность сколько угодно мала).

Числ. посл., имеющая конечный предел называется сходящейся (в прот. случае расходящейся).

Св-ва ч.п.:

1) монотонность: an>an+1 – убывающая

                                  an≥an+1 – невозр.

                                  аn<an+1 – возраст.

                                  an≤an+1 – неубывающ.

 2) огран-сть:   M >0, что (an) ≤M.

        аn=1/n – убывающ.

         (1/n) ≤1 – ограничен.

          аn=(-1/2) n – немонотонна

          ((-1/2)n) ≤1/2 – ограничена

          аn=2 n – возраст. и неогр.

 


Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 352; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!