Законы распределения случайной величины

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

В технических вузах проводят лабораторную работу: дают студентам одинаковые детали и микрометр. Студенты измеряют размеры деталей и строят гистограммы частотных распределений, то есть считают количество деталей в каждом интервале размеров.

Рис.2.1. Гистограмма частотного распределения и кривая Гаусса

с параметрами Е(х) = 0 и s = 1.

Инженеры считают, что размеры деталей подчиняются закону нормального распределения (ЗНР), выведенного К.Гауссом

Как видите, в функции Гаусса всего два параметра: математическое ожидание µ_х и стандартное отклонение s, которые сравнительно легко оценить по выборке, используя формулы (2.4) и (2.5 ). Эти формулы реализованы в Excel в функциях соответственно СРЗНАЧ, ДИСП и СТАНДОТКЛОН, категория «Статистические». Зная параметры гауссианы, можно вычислить процент деталей в различных диапазонах х (квантили), используя таблицы или функцию НОРМРАСП Excel. Поэтому закон нормального распределения широко применяется при проектировании машин и механизмов. Например, можно вычислить количество событий (деталей) в диапазоне {Е(х) -2s, Е(х) +2s}. Это примерно 95%, то есть в “хвостах” останется по 2,5%. В данном случае р = 0,95 – доверительная вероятность, а {Е(х) -2s, Е(х) +2s} - соответствующий доверительный интервал.

На Рисунке 2.2 показано применение функции НОРМРАСП. Площадь левого хвоста гауссианы (Рисунок 2.1) от - до -1,96 (почти 2) равна 0,024997895, то есть 2,5%.

Рис.2.2.

В общем виде это утверждение выглядит следующим образом:

для уровня значимости a = 1– р доверительный интервал равен

{Е(х) – t_критs, Е(х) + t_критs}, где t_крит – критические значения статистики Стьюдента t = Е(х)/s. В нашем примере a – доля деталей в одном или двух “хвостах”. При уменьшении числа замеров надёжность оценки Е(х) и дисперсии падают, и доверительный интервал надо расширять. Поэтому критические значения статистики Стьюдента зависят от уровня значимости (доверительной вероятности) и количества замеров (степеней свободы). Распределение Стьюдента t_крит(a, n) приведено во всех учебниках и практикумах по математической статистике и эконометрике. В Excel имеется функция СТЬЮДРАСП(t_крит, n, число хвостов (1 или 2)), которая возвращает долю событий в одном или двух “хвостах”. Для практических целей достаточно запомнить, что при числе замеров больше 30 и р=95% t_крит примерно равно 2 (при “бесконечном” числе замеров – 1,96). Инженеры используют правило, опирающееся на распределение Гаусса: “за тремя сигмами ничего нет”, то есть количество деталей с размерами, отклоняющимися от среднего более чем на 3s, ничтожно мало, меньше 0,135% в каждом “хвосте” (сейчас переходят на шестисигмовый уровень надёжности). Разница экономики и техники состоит в том, что 5% невыгодных сделок – не страшно, а 5% или 2,5% (один хвост) заклиненных деталей – это много.

На рисунке 2.3 представлено окно функции СТЬЮДРАСП. Функция вычисляет площадь одного “хвоста” от - до -2 (или от 2 до ) : в данном случае 0,027312522, то есть 2,7%. В окне функции СТЬЮДРАСПОБР на рисунке 2.4 представлено значение t-статистики (отклонение от среднего значения в сигмах), равное 2,042; то есть площадь двух “хвостов” с границами ±2,042σ равна 5%.

Рис.2.3.

Рис.2.4.

В метеорологии, геохимии, биологии и экономике закон нормального распределения не работает, что связано с когерентностью, то есть взаимной зависимостью событий. Например, изъятие вкладов из банка может многократно превысить средний уровень из-за негативных публикаций или слухов. Для природы и экономики характерны распределения “с толстыми хвостами”, то есть количество аномальных замеров достаточно велико. Известно, что количество природных катастроф в зависимости от количества жертв подчиняется экспоненциальному закону. Успешно используется логнормальное распределение, сводимое к нормальному заменой x_i на log(x_i). Логнормальному распределению подчиняются, по данным автора, микроэлементы и чернобыльские радионуклиды в пробах, количество покупок в магазине в зависимости от их стоимости.

Автор не располагает данными о количестве льготников – пассажиров на городском и пригородном транспорте, но предполагает, что именно незнание законов частотных распределений в социальной сфере привело к бунтам и блокированию трасс при монетизации льгот. Предположим, что количество льготников N в зависимости от стоимости проезда распределено по логнормальному закону (Рис.2.5). По оси абсцисс указано количество поездок на городском транспорте в день.

Рис.2.5. Количество льготников N в зависимости от стоимости проезда.

Видимо, при расчетах компенсаций был использован закон нормального распределения (плавная кривая), компенсировали средние затраты, но больше половины льготников были недовольны. Даже когда добавили σ, потом 2σ, может быть 3σ, то осталось много недовольных: бывшие военные, полярники, милиционеры, которые ездят из пригородов в Москву на заработки. В результате – огромные траты из казны, а льготный проезд из пригородов пришлось оставить.

В математической статистике используются также распределения Пирсона (хи-квадрат), Фишера, Пуассона.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 255; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!