Операции двоичного сложения и вычитания с использованием дополнительного и обратного кодов

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(МАДИ)

Т.М. АЛЕКСАНДРИДИ, Б.Н. МАТЮХИН, Е.Н. МАТЮХИНА

ОРГАНИЗАЦИЯ ЭВМ И СИСТЕМ

Учебное пособие

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для направления 552800 «Информатика и вычислительная техника» и направления 654600 «Информатика и вычислительная техника» по специальности 230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (АС) ».

МОСКВА 2010

Введение

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов направления 552800 «Информатика и вычислительная техника» и направления 654600 «Информатика и вычислительная техника» по специальности 230102 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (АСОИУ)» и используется при изучении теоретических разделов дисциплин «Схемотехника» и «Организация ЭВМ и систем», выполнении лабораторных работ, а также при курсовом и дипломном проектировании.

В 1-й главе учебного пособия рассмотрены вопросы представления данных в ЭВМ, основные коды двоичных и двоично-десятичных алгебраических чисел, методы и алгоритмы выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления. Описаны также способы контроля правильности выполнения операций пересылки, сдвига, сложения и вычитания на основе использования сверток по мод.2 и по мод.3.

Во 2-й главе учебного пособия рассмотрены вопросы логического и схемотехнического проектирования цифровых устройств. Представлены разделы применения алгебры логики для решения задач анализа и синтеза логических схем, системы цифровых логических элементов, интегральные триггеры, основные функциональные узлы ЭВМ.

В 3-й главе учебного пособия рассмотрены назначение, принцип действия, структурные и функциональные схемы основных функциональных устройств, входящих в состав ЭВМ. Изложены методика и примеры проектирования основных блоков арифметическо-логического устройства и устройства управления.

В 4-й главе учебного пособия рассмотрены назначение, принцип действия, структурные и функциональные схемы основных типов микропроцессоров (МП) и соответствующих микропроцессорных комплектов (МП-комплектов), на основе которых строятся современные универсальные и специализированные ЭВМ и системы. Изложены методика и примеры проектирования МП-систем для использования в АСОИУ.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

1.1. Основные форматы чисел

В ЭВМ выполняется обработка следующих видов данных: двоичных чисел, десятичных чисел и символьных данных.

Для представления всех видов данных в ЭВМ используются различные форматы.

Числа могут представляться в форме с фиксированной запятой и в форме с плавающей запятой. Для формы с фиксированной запятой форматы чисел будут различными для дробных и целых чисел.

Если А = 3Н, а₁ а₂ а₃ ......... а_n

а_n= {0,1} - двоичные цифры

| A | < 1, то формат (разрядная сетка) имеет следующий вид:

№ разряда	0	1	2	3	..........	n
Значение	ЗНАК	2^-1	2^-2	2^-3	..........	2^-n

Положение запятой фиксируется перед разрядом с весом 2^-1.

Формат целого числа для |A| > 1 выглядит следующим образом:

№ разряда	n	n-1	..........	2	1	0
Значение	ЗНАК	2^n-1	..........	2²	2¹	2⁰

Положение запятой фиксировано после разряда с весом 2⁰.

Числа с плавающей запятой хранятся в памяти ЭВМ в нормализованном виде: a=А∙10^а, где А - мантисса, 10 - основание системы счисления, а - порядок.

Мантисса должна удовлетворять следующему требованию:

1/10≤│A│< 1, для двоичной системы │А│≥ 2^-1

Разрядная сетка (формат) такого числа имеет следующий вид:

Знак порядка	Порядок	Знак числа	Мантисса
	2^m........2² 2¹ 2⁰		2^-1 2^-2 ............2^-n

В современных ЭВМ принято, что формат данных должен быть кратным байту — восьми двоичным разрядам.

Десятичные числа в ЭВМ изображаются с помощью двоично-десятичных кодов. Каждая десятичная цифра при этом представляется четырьмя двоичными разрядами, т.е. в одном байте помещается две десятичные цифры.

Машинные коды алгебраических чисел

В ЭВМ используются, в основном, следующие коды чисел: прямой, обратный и дополнительный.

Если А — число с фиксированной запятой, |A| < 1;

[A]_п — прямой код числа, который образуется по следующему правилу:

А, при А ≥ 0,

[A]_п =(1.1)

1 – A, при А < 0.

В машинных кодах знаки чисел отображаются с помощью двоичных цифр. Принято обозначать

ЗН. ”+” := 0.; ЗН. ” — ” := 1.

Пример. А= +.101101; [A]_п = 0.101101

А= -.101101; [A]_п = _1.000000

-.101101

1.101101

Представление чисел в прямом коде используется в ЭВМ при вводе и выводе, при хранении данных в ЭВМ (не всегда). Достоинством прямого кода является простота и привычность представления чисел в виде модуля числа и знака. Однако применение прямого кода для реализации алгебраических операций не очень удобно. Рассмотрим примеры выполнения операций сложения и вычитания в прямых кодах.

S1 = A + B ; S2 = A - B ; A=37/64; B=19/64.

A= +.100101; B= +. 010011

111 – переносы 1 – заем

[A]_п = 0.100101 [A]_п = 0.100101

[B]_п = 0.010011 [B]_п = 0.010011

[S1]_п = 0.111000 [S2]_п = 0.010010

S1=56/64 S2=18/64

Как следует из этих примеров, сложение и вычитание различаются правилами образования переноса и заема. Это означает, что при разработке схем арифметического блока нужно будет строить не только сумматоры, но и вычитатели, т.е. специальные схемы, реализующие операцию вычитание. Такое техническое решение приведет к увеличению аппаратуры и практически не применяется.

Более широко для реализации алгебраических операций используются специальные коды, которые позволяют заменить операцию вычитание — сложением. При этом оказывается возможным при построении арифметических устройств использовать только сумматоры.

Обратный код числа образуется по следующему правилу:

[A]_о = [A]_п, при А≥0,

[A]_о = (1.2)

[A]_о = 10 + A - 10^-n, при А<0

Например, А = -.101101

[A]_о = _10.000000

.101101

_1.010011

.000001

1.010010.

Как видно из этого примера для получения обратного кода все цифры числа инвертируются. По этому же правилу осуществляется перевод обратного кода в прямой код.

Дополнительный код числа образуется по следующему правилу:

[A]_п, при А ≥ 0

[A]_д= (1.3)

10 + A, при А<0

Пример образования дополнительного кода отрицательного числа

А= -7/16 = -0.0111 [A]_д = _10.0000

.0111

1.1001

Анализ правил образования обратного кода (1.2) и дополнительного кода (1.3) показывает, что для двоичной системы счисления является справедливым следующее соотношение:

[A]_д = [A]_о + 2^-n. (1.4)

На практике для нахождения дополнительного кода используют соотношение (1.4), а не (1.3).

Операции двоичного сложения и вычитания с использованием дополнительного и обратного кодов

Рассмотрим в общем виде правила выполнения операций сложения и вычитания для чисел с фиксированной запятой на основе дополнительного и обратного кодов, а также методы оценки результатов.

1.3.1 Вычитание на основе дополнительного кода

Пусть надо найти (действия выполняются над модулями чисел):

S=A+B; |A|<1; |B|<1; A>0; B<0. Тогда S= A - |B|;

Будем вычислять сумму модулей в виде

S* = [A]п + [-|В|]д = A+10 -|B|=10+(A - |B|) (1.5)

Рассмотрим два возможных случая:

1) А - |B| ≥0 , тогда S* ≥0; S*≥10

Поскольку разрядная сетка рассчитана на размещение чисел по модулю меньших 1, то слагаемое “10” образует перенос из старшего разряда P₀=1, который выходит за пределы разрядной сетки. При этом в разрядной сетке окажется сумма в прямом коде, т.е.

[S]_п = S* - 10 = A - |B|

Следовательно, наличие переноса из старшего разряда сумматора является признаком того, что сумма положительна и получилась в прямом коде.

2) Если в выражении (2.1) принять (А - |B|) < 0, то S* < 10, S<0 и по определению (1.3) оказывается, что S* = [A- |B|]_д. Следовательно, отсутствие переноса из старшего разряда сумматора является признаком того, что сумма получилась в дополнительном коде.

Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров.

Пример 1:

S = A+B; A= .11011; B= -.00101 [-|В|]_д = .11011.

S* = |A| + [-|В|]_д = .11011

.11011

S*=1.10110 S*>1.

В этом примере за пределы разрядной сетки вышла единица переноса Р₀ = 1 , следовательно, результат получился положительный и в прямом коде S = [S]_п = 0.10110.

Пример 2:

S=A+B; A= -.11001 [A]_д = 1.00111 B= .00101

S*=[|A| ]_д + [|B| ]_п .00111

+.00101

S* = .01100

В этом примере перенос из старшего разряда отсутствует, т.е. Р₀ = 0, следовательно, результат отрицательный и получился в дополнительном коде, S* = [S]_д.

1.3.2 Вычитание на основе обратного кода Остановимся на особенностях выполнения операций сложения и вычитания на основе обратного кода.

Будем вычислять ( действия выполняются над модулями чисел):

S = A+B; |A| < 1; |B| < 1; A > 0; B < 0.

Найдем решение в виде:

S* = A + [-|B|]_o = A + 10 - |B| - 10^-n= 10+(A - |B|) - 10^-n (1.6)

Оценим возможные варианты решения:

1) Если А - |B| ≥ 0, то S* ≥ 10

Анализ выражения (1.6) показывает, что так как “10” образуется за счет переноса из старшего разряда Р₀ = 1, то в разрядной сетке остается выражение (А - |B|) - 10^-n.

Следовательно, для получения правильного результата, если

Р₀ = 1, необходимо добавить к полученной сумме единицу младшего разряда:

|S| = (A - |B|) - 10^-n+10^-n= A - |B|

Эта процедура носит название “циклический перенос”, так как при возникновении переноса из старшего разряда Р₀ = 1 именно этот сигнал должен поступать на вход переноса младшего разряда сумматора для коррекции результата. При этом результат получается положительным и в прямом коде.

2) Если А - |B| < 0 , то выражение (1.6) представляет собой по определению обратный код искомой разности. При этом S* < 10 ,переноса из старшего разряда не возникает Р₀ = 0, результат отрицательный S<0, S* = [|S|]_o

Пример 1 S=A+B; A= .11011 B= -.00101

S*= |A| + [- |B| ]_о = .11011

+ .11010

1.10101 так как Р₀ = 1, то выполняется

+ .00001 циклический перенос |S| = .10110 ЗНS = ЗНА [S]_п = 0.10100

Пример 2

S=A - B; A= .00101. B= .11001

S*= |A| + [- |B| ]_о = .00101

+.00110

S*=.01011

Поскольку переноса из старшего разряда нет (Р₀ = 0), то результат отрицательный и получился в обратном коде. Следовательно,

S*=[|S|]_о ; [S]_о = 1.01011 [S]_п = 1.10100

Рассмотрим еще один пример, в котором представляется вариант с переполнением сетки

S=A + B; A= .11011 B= .01001

S*= |A| + |B| = .11011

+ .01001

S*=1.00100

На основе приведенных выше способов оценки результат должен получиться отрицательным, так как Р₀ = 0, да и в знаковом разряде также стоит “1”. Однако сумма положительна, но |S*|>1 т.е. произошло переполнение разрядной сетки. Следовательно, для обнаружения такой ситуации должны быть использованы дополнительные логические условия.

Модифицированные коды

Одним из наиболее распространенных и достаточно простых способов обнаружения переполнения является использование модифицированных кодов. Они отличаются тем, что для представления знака используются два разряда. При этом формат числа имеет следующий вид:

№ разряда	0	1	2	3	..........	n
Значение	ЗН[0]	ЗН[1]	2^-1	2^-2	..........	2^-(n-1)

Пусть некоторое число обозначено А, тогда связь между цифрами в знаковых разрядах и величиной и знаком числа А выглядит следующим образом:

ЗН[0]	ЗН[1]
0	0	\|S\|<1	S>0
1	1	\|S\|<1	S<0
0	1	\|S\|≥1	S>0
1	0	\|S\|≥1	S<0

Как следует из этой таблицы, несовпадение цифр в знаковых разрядах означает переполнение разрядной сетки. Рассмотренные выше правила выполнения операций сложения и вычитания справедливы также и при использовании модифицированных кодов.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1206; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!