Формирование остатка двоичного числа по модулю 3
Рассмотрим двоичное число А2, ½A½> 1
A= an× 2n + an-1× 2n-1 + …+ a1× 21 + a0× 20
От этого двоичного числа перейдем к четверичному числу:
A = am × 4m + am-1 × 4m-1 + …+ a1 × 41 + a0 × 40
Каждая четверичная цифра числа получается из 2-х разрядов двоичного числа.
m = (n+1) /2 при ``n`` нечетном и m = n/2 при ``n`` четном
am = an× 2 + an-1 a0= a1× 2 + a0
am-1 = an-2× 2 + an-3 (1.16)
Пример:
2120 2120 2120 2120
A2 = 1 0 1 1 0 1 0 1 = 18110
43 42 41 40
Цифры двоичного числа А разбиты на пары, которые соответствуют четверичным цифрам. Над двоичными цифрами каждой пары проставлены их двоичные веса, чтобы было легче определить четверичные цифры.
A4 = 2 × 43 + 3 × 42 +1 × 41 +1 × 40 = 128 + 48 + 4 + 1 = 18110
R (A) = R (am× 4m ) + R (am-1× 4m-1 ) +… + R (ai× 4i) + R (a0 )
так как остаток от суммы равен сумме остатков слагаемых, разложим бином 4i в ряд:
4i = ( 3 + 1 )i = 3i + C1× 3 i-1 + C2× 3 i-2 + …+ Ci-1× 3 + 1
где C1, C2, …Ci-1 – биномиальные коэффициенты,
R (4i) = 1 – остаток по модулю 3 величины 4i , тогда
R (A) = R (am) + R (am-1) +… + R (a1) + R (a0 )
R (A) = R (am +am-1 +… + a1 + a0 )
Остаток по модулю 3 некоторого числа А равен остатку суммы его четвертичных цифр.
Вычислим остаток по мод3 двоичного числа:
А2 = 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0.
Пользуясь соотношениями (1.16), переведем его в четверичный код:
А4 = 1 2 3 1 2 - четверичное число.
Преобразуем это число, заменив каждую цифру остатком по мод 3:
|
|
|
RI(A) = ( 1 2 0 1 2 ) – остаток по мод 3 каждой четверичной цифры числа А (остаток под мод 3 первого ранга).
RII(A) = ( 1 2 0 ) – попарное суммирование цифр остатков по мод 3 первого ранга (остаток второго ранга).
RIII(A) = ( 1 2 ) – результат попарного суммирования цифр предыдущего остатка (остаток третьего ранга).
RIV(A) =0 – окончательная сумма по мод 3 двоичного числа А2.
Проанализировав процесс формирования остатка по мод 3 , найдем логические выражения на основании которых можно построить соответствующую логическую схему ( операция сложения заменяется логической операцией).
Таблица 1.8
| a1 | a0 | a | R|(a) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 2 | 2 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 3 | 0 |
Запишем в таблице истинности (табл. 1.8) правила перехода от пары двоичных цифр ``a1a0`` к четверичной цифре ``a0`` и к остатку R(a0).
Запишем формальные выражения
a0 := если (a1 & a0 ) то 3, иначе
если (a1 & 
) то 2, иначе
если ( 
& a0) то 1, иначе
если ( & ) то 0;
RI (a0) := если ( & ) Ú (a1 & a0 ) то 0, иначе
если (a1 & ) то 2, иначе (1.9.)
если ( & a0) то 1.
Выражение (1 .9.) представляет собой логические правила формирования не только любой цифры остатка по мод 3 1-го ранга, но является справедливым и для получения цифр остатков всех последующих рангов. Как следует из примера и табл. 1.8, формирование каждой цифры остатка следующего ранга происходит из соответствующей пары цифр предыдущего ранга. Каждая их этих цифр может иметь одно из трех значений: 0,1,2.
|
|
|
Таблица 1.9.
| RI(i) | RI(i-1) | RII(j) |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 1 | 0 |
| 0 | 2 | 2 |
| 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 1 |
В соответствии с этими соображениями составим таблицу истинности (табл. 9.3), в которой отображена логическая зависимость между парой цифр остатка 1-го ранга и соответствующей цифрой остатка по мод 3 2-го ранга. Добавим, что эта таблица справедлива и для формирования цифр остатков последующих рангов.
На основании этой таблицы можно составить логические выражения для формирования остатков 2-го уровня и построить логические схемы.
Способ контроля правильности выполнения операции сложения на основе остатков по модулю 3 достаточно сложен, но применяется, если нужно обеспечить очень высокую достоверность вычислений.
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Имеется некоторое десятичное число А= − 0.75. Преобразовать в двоичный код и записать в двоичном формате для │А│<1.
2. Записать целое десятичное число В= − 346 в двоичном формате для │А│>1.
3. Записать десятичное число А= 437∙10-3 в двоичном коде в формате с плавающей точкой в нормализованном виде.
4. Преобразовать десятичное число В= − 0.43 в двоичный код и записать в прямом, обратном и дополнительном кодах.
5. Преобразовать десятичные числа (простые дроби) А= 31/32, В= 17/64 в двоичный код и выполнить операцию вычитания по алгоритмам ПП, ПО, ПД.
6. Выполнить операцию вычитания для чисел А, В из пункта 5 по алгоритмам ДД, ОО.
7. Для десятичных чисел А=57939, В=27405 выполнить операцию сложения в двоично-десятичном коде 8421.
8. Для десятичных чисел А=57939, В=27405 выполнить операцию вычитания в двоично-десятичном коде 8421 по алгоритму ПД.
9. Для двоичных чисел А=0.0110101 В=0.11011101 выполнить операцию сложение с контролем на основе остатков по модулю 2.
10. Сформировать остаток двоичного числа по модулю 3 для чисел А1=101100010111 и А2= 110111001011.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 372; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!