Основные характеристики функционирования СМО с отказами.
Рассмотрим многоканальную СМО с отказами, в которой имеется 
каналов обслуживания. В данную систему поступает поток заявок с интенсивностью 
. Заявки обслуживаются с показателем интенсивности 
.
Для характеристики такой системы важен показатель 
, именуемый интенсивностью нагрузки канала 
. Основные показатели эффективности функционирования СМО есть предельные вероятности определенных состояний системы. Для СМО с отказами наиболее значимы следующие показатели.
- Вероятность того, что все каналы свободны:
- Вероятность того, что занято 
каналов:
 |
- Вероятность того, что все каналов заняты:
- Вероятность того, что заявка будет обслужена (относительная пропускная способность):
- Абсолютная пропускная способность:
- Среднее число занятых каналов:
Рассмотрим пример задачи на определение показателей эффективности СМО с отказами. Предположим, в справочный отдел с тремя телефонными каналами поступают запросы. Если заняты все три канала, то вновь поступающий звонок не принимается. Среднее время работы с одним звонком 3 мин. Интенсивность потока заявок 0,25 ед.\мин. Определим основные показатели эффективности работы отдела.
По условию, . На основании чего можем определить
Предельные вероятности состояний определяем по формулам:
Рассчитаем остальные показатели эффективности СМО:
|
|
|
Данные показатели означают следующее. 47,6% времени в отделе нет ни одной заявки. 35,7% имеется одна заявка. 13,4% имеется две заявки. 3,3% времени – три заявки. Следовательно, вероятность отказа (заняты все три канала) – 0,033. Относительная пропускная способность означает, что из каждых 100 заявок отдел обслуживает 96,7. В минуту в среднем обслуживается 0,242 заявки. Среднее число занятых каналов 0,725. Это значит, что каждый канал будет занят обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5:3=24,2%.
Основные характеристики функционирования СМО с очередью.
Рассмотрим основные характеристики функционирования СМО с неограниченной длиной очереди. В таких системах поток заявок поступает извне. Примером подобной системы может служить любое предприятие сферы обслуживания (ателье, магазин, ресторан и т.д.). Эффективность функционирования таких систем определяется следующей совокупностью показателей:
-Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
-Вероятность того, что занято каналов, при условии, что общее количество заявок не превышает числа каналов:
-Вероятность того, что в системе находится заявок при условии, что число заявок больше числа каналов:
|
|
|
-Вероятность того, что все каналы заняты:
-Среднее время ожидания в очереди:
-Средняя длина очереди:
-Среднее число свободных каналов:
-Коэффициент простоя каналов:
-Среднее число занятых каналов:
- Коэффициент загрузки каналов:
Рассмотрим пример вычислений основных показателей эффективности функционирования СМО с неограниченной длиной очереди. Предположим, Фирма по ремонту радиоаппаратуры имеет 5 мастеров. В среднем в фирму поступает 10 заявок на ремонт в день. В среднем в день каждый мастер успевает отремонтировать 2,5 радиоаппарата. За единицу времени принимаем 7-часовой рабочий день.
На основании условия определяем: 
Определим предельные вероятности состояний системы:
 |
Среднее время обслуживания одного аппарата:
Среднее время ожидания начала обслуживания:
Средняя длина очереди, от которой зависит площадь, необходимая для хранения принятых в ремонт аппаратов:
Среднее число мастеров, свободных от работы:
 |
В СМО с ограниченной длиной очереди поток заявок поступает изнутри системы. Например, в фирме имеется несколько единиц оборудования, которые случайным образом могут выходить из строя и требовать обслуживания в виде ремонта. Максимальное количество заявок на обслуживание в этом случае оказывается фиксированным. Оно обозначается 
.
|
|
|
Эффективность функционирования таких систем характеризуют следующие показатели.
1. 
Вероятность того, что занято каналов, при условии, что число заявок не больше числа каналов обслуживания:
2. 
Вероятность того, что в системе находится заявок при условии, что число заявок больше числа каналов:
3. 
Вероятность того, что все каналы свободны:
4. 
Средняя длина очереди:
5. 
Коэффициент простоя обслуживаемого объекта:
6. 
Среднее число заявок:
7. 
Среднее число свободных каналов:
8. 
Коэффициент простоя обслуживающего канала:
Рассмотрим пример задачи на расчет показателей эффективности функционирования СМО с ограниченной длиной очереди. Рабочий обслуживает группу из трех автоматов. В среднем автоматы требуют обслуживания с интенсивностью 2 авт.\час. На обслуживание одного автомата уходит в среднем 12 мин.
На основании условий определяем:
|
|
|
Вероятности состояний определяем по формулам:
На основании расчетов заполним таблицу 36.
Таблица 36. Показатели эффективности функционирования СМО.
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0 | 0 | 1,0000 | 0,2822 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1,2000 | 0,3386 | 0 | 0,3386 |
| 2 | 1 | 0,9600 | 0,2709 | 0,2707 | 0,5418 |
| 3 | 2 | 0,3840 | 0,1083 | 0,2166 | 0,3249 |
| 3,5440 | 1,0000 | 0,4875 | 1,2053 |
Определим остальные показатели, используя расчеты, выполненные в таблице 36:
Заключение
В настоящем пособии отражены основные разделы традиционного курса исследования операций, содержание которых представляется автору наиболее важным и ценным с позиций требований, предъявляемых к профессиональной подготовке выпускников экономического факультета РГУ им. И. Канта.
В рамках реализации заявленной во введении цели были рассмотрены основные принципы разработки математических оптимизационных моделей, показаны подходы к их классификации. В соответствии с ранее выбранным принципом изложения в первых разделах пособия рассмотрены детерминированные модели, к числу которых относятся модели линейного и нелинейного (выпуклого) программирования, а также модели динамического программирования. В последующих разделах охарактеризованы вероятностные модели и модели с неопределенностью: математические игры, модели управления запасами и модели систем массового обслуживания.
В каждом разделе пособия автор стремился не только ознакомить читателей с математическим аппаратом, применяемым в моделировании, но и проиллюстрировать его применение на примерах экономических и управленческих ситуаций, требующих принятия решений. Остается надеяться, что такой подход позволил читателям увидеть и оценить возможности выбора оптимальных управленческих решений на основе методов математического программирования и исследования операций.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 639; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!