Основные понятия теории игр. Парные матричные игры с нулевой суммой.
В данном разделе мы начинаем рассматривать модели, которые характеризуются как недетерминированные, то есть связанные с принятием решений в условиях либо полной неопределенности, либо риска.
Неопределенность и связанный с нею риск являются неотъемлемыми свойствами рыночной среды. В конкретных ситуациях принятия решений источником неопределенности являются возможные действия контрагента: конкурента, потребителя, поставщика и т.д. Обособленность и несовпадение интересов контрагентов порождают конфликт. Математическим описанием конфликта является игра. Таким образом, можно сказать, что игра – это математическая модель конфликтной ситуации. Конфликтная ситуация характеризуется следующими чертами:
- наличие заинтересованных сторон, назовем их игроками;
- существование альтернатив принятия решения у каждой из сторон;
- содержание интересов сторон.
Будем рассматривать относительно простые игры с двумя участниками. Назовем участников игры игроками А и В. Игроки имеют возможность выбирать решение из ограниченного числа альтернатив. Пусть игрок А располагает m альтернативами, а игрок В располагает n альтернативами. Выбор альтернатив участниками игры однозначно предопределяет ее исход. Исход выражается некоторым числом. Обозначим исход игры 
, где i – номер альтернативы игрока А, а j – номер альтернативы В.
В соответствии со сложившейся традицией принято называть исход игры для А выигрышем ( независимо от знака данного числа), а исход игры для В проигрышем ( также независимо от знака). Если исход для игрока А равен исходу для игрока В, то игру называют игрой с нулевой суммой. Совокупность исходов образует матрицу, которая называется платежной.
|
|
|
Важными понятиями теории игр являются «нижняя чистая цена игры» и «верхняя чистая цена игры». Выберем по строкам платежной матрицы наименьшие числа, которые соответствуют наихудшим исходам при выборе игроком А соответствующих альтернатив. Назовем эти числа 
Выберем среди 
максимальное число, которое назовем просто 
. Это число есть нижняя чистая цена игры, или максимин. Выбор игроком А соответствующей альтернативы именуется максиминной стратегией.
Теперь по столбцам платежной матрицы выберем максимальные числа, которые соответствуют наибольшим проигрышам игрока В
для соответствующих альтернатив. Назовем эти числа 
.
Среди 
определим наименьшее число и назовем его просто 
. Это число есть верхняя чистая цена игры, или минимакс. Выбор игроком В соответствующей альтернативы именуется минимаксной стратегией.
Проиллюстрируем описанные выше понятия с помощью примера, в котором мы увидим платежную матрицу игры, ее максимин и минимакс, а также соответствующие им стратегии игроков.
|
|
|
Пусть А и В записывают каждый по отдельности одно из следующих чисел: 1,4,6,9. Затем они одновременно показывают написанное число. Если числа одинаковой четности, то А выигрывает очки, равные сумме чисел. Если четность чисел разная, то их сумма становится выигрышем В.
Составим платежную матрицу игры, определим ее 
и 
, а также максиминную и минимаксную стратегии игроков.
Платежная матрица игры:
Следовательно, 
. Максиминная стратегия А – выбор 
, минимаксная стратегия В – выбор 
или 
.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 451; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!