Раздел 3. Нелинейное программирование.
Общая характеристика нелинейной оптимизационной модели.
Количественные зависимости между факторами, как правило, имеют нелинейный вид. В этой связи уместно напомнить, что существует два отличительных признака нелинейности функций: а) наличие в формуле функции, по крайней мере, одной переменной, степень которой отличается от первой; б) наличие в формуле функции хотя бы одного произведения переменных. Данные признаки определяют принадлежность модели к категории задач нелинейного программирования.
Нелинейные функции можно характеризовать посредством такого свойства как выпуклость или вогнутость. Проиллюстрируем данное свойство с помощью графика нелинейной функции от одной переменной 
. Ниже приведены два условных графика нелинейной функции от одной переменной (рис. 4 и рис. 5).
Рис. 4. График выпуклой функции 
.
Вторая производная выпуклой функции положительна, экстремум (если он существует) - минимум.
Рис. 5. График вогнутой функции 
Вторая производная вогнутой функции отрицательна, экстремум (если он существует) – максимум.
Для определения выпуклости (вогнутости) функции от нескольких переменных можно использовать следующий метод:
- определить вторые частные производные функции;
- сформировать из данных производных матрицу;
- определить знаки главных миноров матрицы вторых частных производных.
|
|
|
Если все главные миноры положительны, то функция строго выпукла; если знаки чередуются в последовательности
-\+ , то функция строго вогнута.
Рассмотрим применение метода на примере.
Требуется исследовать функцию 
на выпуклость (вогнутость).
Определим сначала первые частные производные этой функции:
. Затем - вторые частные производные: 
Сформируем из вторых частных производных матрицу ( матрица Гёссе): 
. Определим знаки ее главных миноров. Минор первого порядка 
. Минор второго порядка 
. Таким образом, функция строго вогнута.
Рассмотрим общую запись задачи нелинейного программирования:
В отличие от задач линейного программирования, области допустимых решений (ОДР) которых всегда выпуклы, ОДР задач нелинейного программирования могут быть выпуклыми (рис. 6) и невыпуклыми (рис. 7).
Рис. 6. ОДР задачи нелинейного программирования – выпуклое множество.
Рис. 7. ОДР задачи нелинейного программирования –невыпуклое множество
Кроме того, ОДР задачи нелинейного программирования может иметь разрывы (рис. 8).
Рис. 8. ОДР задачи нелинейного программирования – два подмножества.
Если оптимальное решение задачи линейного программирования всегда находится на границе ОДР (по крайней мере, в одной из ее крайних точек), то точка оптимума задачи нелинейного программирования может принадлежать либо внутренней части ОДР, либо ее границе.
|
|
|
В данном пособии рассматриваются задачи, в которых ОДР выпукла и не имеет разрывов.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 516; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!