Задача определения оптимальной политики замены оборудования.
Рассмотрим общую постановку задачи замены оборудования. В рамках планового периода, охватывающего N лет, необходимо определить оптимальные сроки замены оборудования возрастом не старше t лет, с тем чтобы суммарная прибыль от эксплуатации оборудования была максимальной. Для принятия решения имеются следующие данные: 1) годовой доход, получаемый от эксплуатации оборудования соответствующего возраста - 
; 2) годовые затраты на эксплуатацию оборудования соответствующего возраста - 
; 3) ликвидационная стоимость единицы оборудования - 
; 4) цена приобретения единицы нового оборудования - 
Решение принимается в начале каждого года планового периода.
Дадим содержательную интерпретацию основных понятий метода динамического программирования для данной задачи. Управляемой системой является возраст оборудования. За шаг процесса в данном случае целесообразно принять год планового периода. Под состоянием оборудования подразумевается его возможный возраст. 
– множество состояний оборудования перед 
-м годом. Его элементами будут числа 1,2,…,t . 
– множество решений в отношении оборудования, которые могут быть приняты в начале -го года. Элементы его следующие:1) оборудование сохранить ; 2)оборудование заменить, реализовав старое по остаточной стоимости и приобретя новое по цене .
В данной задаче целесообразно различать два множества состояний оборудования: 
- множество состояний сразу после выбора управления в -м году и 
– множество состояний в конце -го года, когда возраст оборудования становится больше на 1 год.
|
|
|
- прибыль в 
м году в использования оборудования; 
– условно-оптимальная прибыль от использования оборудования в период с -го по N-й год при условии, что перед -м годом возраст оборудования характеризовался элементом множества и в начале -го года было принято некоторое управление из множества .
Если в начале года выбрано «сохранение», то годовая прибыль от эксплуатации оборудования выражается разностью
,
если выбрана «замена», то прибыль считается по формуле
.
Условно-оптимальное значение целевой функции определяется наибольшим из выражений. Если же оба управления приводят к одному и тому же результату, то целесообразно выбрать «сохранение», так как знакомое оборудование проще эксплуатировать.
Развернем вначале процедуру условной оптимизации, начав ее с последнего года планового периода. По завершении условной оптимизации пройдем процесс в прямом направлении и сформируем оптимальную политику сохранения и замены оборудования.
|
|
|
Рассмотрим задачу следующего содержания. Определить оптимальную политику по отношению к оборудованию возраста не старше 6 лет на плановый период в 4 года. В таблице 20 даны значения годового дохода 
и эксплуатационных расходов v(t) в зависимости от возраста оборудования t.
Таблица 20. Исходные данные задачи.
| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r (t) | 27 | 26 | 26 | 25 | 24 | 23 | 21 |
| v (t) | 15 | 15 | 16 | 16 | 16 | 17 | 19 |
| z | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 6 | 2 |
Ликвидационная стоимость старого оборудования S = 4 ден. ед.; цена единицы нового оборудования P = 13 ден. ед. Предположим, что все указанные в качестве исходных данных показатели не меняются в течение четырех лет
Условную оптимизацию начинаем с анализа 4-го года периода (табл. 21).
Таблица 21. Анализ 4-го шага.
| x3 | u4 | x4н | Z4 | F4 |
| 1 | Сохранение Замена | 1 0 | 11 3 | 11 - |
| 2 | С 3 | 2 0 | 10 3 | 10 - |
| 3 | С 3 | 3 0 | 9 3 | 9 - |
| 4 | С 3 | 4 0 | 8 3 | 8 - |
| 5 | С 3 | 5 0 | 6 3 | 6 - |
| 6 | С 3 | 6 0 | 2 3 | - 3 |
Условная оптимизация двухлетнего периода, состоящего из 3-го и 4-го годов, приводится в таблице 22.
Таблица 22. Анализ 3-го шага.
| x2 | u3 | x3н | Z3 | x3 | F4 | Z3+F4 | F3 |
| 1 | C 3 | 1 0 | 11 3 | 2 1 | 10 11 | 21 14 | 21 - |
| 2 | C 3 | 2 0 | 10 3 | 3 1 | 9 11 | 19 14 | 19 - |
| 3 | C 3 | 3 0 | 9 3 | 4 1 | 8 11 | 17 14 | 17 - |
| 4 | C 3 | 4 0 | 8 3 | 5 1 | 6 11 | 14 14 | 14 - |
| 5 | C 3 | 5 0 | 6 3 | 6 1 | 3 11 | 9 14 | - 14 |
| 6 | C 3 | 6 0 | 2 3 | - 1 | - 11 | - 14 | - 14 |
|
|
|
В остальных таблицах укажем лишь строки, соответствующие условно-оптимальным управлениям ( табл. 23 и табл 24).
Таблица 23. Анализ 2-го шага.
| x1 | u2 | x2н | z2 | x2 | F3 | z2+F3 | F2 |
| 1 2 3 4 5 6 | C C 3 3 3 3 | 1 2 0 0 0 0 | 11 10 3 3 3 3 | 2 3 1 1 1 1 | 19 17 21 21 21 21 | 30 27 24 24 24 24 | 30 27 24 24 24 24 |
Следует обратить внимание на отличие состава элементов множества в заключительной таблице. В множестве 
имеется элемент 0. Наличие оборудования нулевого возраста перед началом планового периода объясняется тем, что за рамками планового периода какие-то единицы оборудования было решено заменить, и данное решение было реализовано, то есть старое оборудование продано по остаточной стоимости и новое оборудование приобретено. Следовательно, для этой группы оборудования разница 
не должна влиять на решения, принимаемые в рамках рассматриваемого четырехлетнего периода.
Таблица 24. Анализ 4-го шага.
| x0 | u1 | x1н | z1 | x1 | F2 | z1+F2 | F1 |
| 0 1 2 3 4 5 6 | C C C C 3 3 3 | 0 1 2 3 0 0 0 | 12 11 10 9 3 3 3 | 1 2 3 4 1 1 1 | 30 27 24 24 30 30 30 | 42 38 34 33 33 33 33 | 42 38 34 33 33 33 33 |
|
|
|
По завершении условной оптимизации составим матрицу максимальных прибылей, куда включим данные последних столбцов таблиц 21-24. По матрице (табл. 25) достаточно просто определить оптимальную политику на 4 года для оборудования любого возраста, не превышающего 6 лет.
Таблица 25. Матрица для проведения безусловной оптимизации.
| Возраст оборудов., t | Максимальная прибыль по годам планового периода | |||
| 1-4 | 2-4 | 3-4 | 4 | |
| 0 1 2 3 4 5 6 | 42 38 34 33 33 33 33 | - 30 27 24 24 24 24 | - 21 19 17 14 14 14 | - 11 10 9 8 6 3 |
Курсивом выделены элементы в «области сохранения», обычным шрифтом – в «области замены». Определим, к примеру, оптимальную политику в отношении оборудования, которое имело к началу планового периода возраст 4 года. На пересечении первого столбца и пятой строки (t =4) находим элемент 33, который попадает в область замены. К началу второго года, следовательно, мы будем иметь новое оборудование возраста 1 год, которому соответствует элемент 30 в области сохранения. К началу третьего года возраст данного оборудования составит 2 года и его следует сохранить. К началу 4-го года оборудованию будет 3 года и его следует сохранить. Таким способом можно определить вектор оптимальных управлений для оборудования любого возраста в рамках рассматриваемого четырехлетнего периода.
Раздел 5. Основы теории игр.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 592; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!