Касательные напряжения при изгибе

Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при по­перечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные на­пряжения, вызывающие деформации сдвига. В силу закона парности та­кие же касательные напряжения будут возникать и в продольных сечени­ях, параллельных нейтральному слою. Наличие касательных напряжений в продольных сечениях подтверждается появлением в деревянных балках при поперечном изгибе продольных трещин.

Перейдем к выводу формулы для вычисления касательных напряже­ний при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения. Эта формула была выведена в 1855 г. русским инженером-мостостроителем Д. И. Жу-равским. Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в прошлом веке при строительстве мостов широко применялись деревянные конст­рукции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.

Рассмотрим балку прямоугольного сечения b h (рис. 23.19). Пусть в поперечном сечении 1 действует изгибающий момент М_и,а в сечении 2, отстоящем от первого на бесконечно близком расстоянии dz,— изги­бающий момент М_и + dМ_и.На расстоянии у₁ от нейтральной оси проведем продольное сечение ас и рассмотрим равновесие элементарного паралле­лепипеда атппс, имеющего измерения

Равнодействующую нормальных внутренних сил, действующих на грань am,обозначим N₁, а действующих на грань сп — N₂;пере­менные нормальные напряжения в этих гранях обозначим соответст­венно ₁и ₂

252

 

В поперечном сечении балки выделим бесконечно узкую полоску dA, находящуюся на переменном расстоянии д> от нейтральной оси, тогда

 

Предполагаем, что касательные напряжения в поперечном сечении прямоугольной балки параллельны поперечной силе Q и по ширине сече­ния распределены равномерно. Полагая, что в продольном сечении каса­тельные напряжения также распределены равномерно, определим каса­тельную силу dF, действующую на грани ас:

Составим уравнение равновесия параллелепипеда атпс:

отсюда

или

обозначим через S,это статический момент заштрихованной пло-

щади А_у сечения относительно нейтральной оси; тогда

253

откуда

Так как, согласно теореме Журавского,

Это равенство называется формулой Журавского.

Выведенная формула дает значение касательных напряжений в про­дольных сечениях, но по закону парности в точках поперечного сечения, лежащих на линии пересечения продольной и поперечной плоскостей, будут действовать одинаковые по модулю касательные напряжения.

Формула Журавского читается так: касательные напряжения в по­перечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на ста­тический момент S относительно нейтральной оси части сечения, ле­жащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.

Определим закон распределения касательных напряжений для балки прямоугольного сечения (рис. 23.20). Для слоя волокон ad:

Таким образом, в верхнем и нижнем слоях волокон касательные на­пряжения равны нулю, а в волокнах нейтрального слоя они достигают максимального значения. Законы распределения касательных напряжений по ширине и высоте прямоугольного сечения показаны на рис. 23.20, а.

С некоторым приближением формулу Журавского можно применять для вычисления касательных напряжений в балках с поперечными сече­ниями другой формы. Рассмотрим консольную балку корытного профиля, сечение которой показано на рис. 23.20, б, изгибаемую силой F на конце.

Плоскостью 1—1 отсечем часть полки площадью А.Так как изгиб балки поперечный, в плоскости 1—1 будут действовать продольные каса­тельные силы и напряжения _z (по аналогии см. рис. 23.19) . По закону парности в поперечном сечении полки возникнут касательные напряже­ния _х той же величины и их можно вычислить по формуле Журавского

254

 

где Q — поперечная сила в сечении балки; S_x — статический момент от­сеченной площади А относительно оси х (нейтральная ось), S_x = Ah₁/2;

I — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; t— толщина полки. Если полка постоянной толщины, то касательные напря­жения _х изменяются по линейному закону, тогда

Равнодействующая R₁касательных напряжений в верхней полке равна:

На нижнюю полку действует такая же сила R₁, но направленная в противоположную сторону. Две силы R₁образуют пару с моментом

Следовательно, в сечении наряду с вертикальной поперечной силой Q = R₂возникает также крутящий момент M_к, который скручивает балку. R₂— равнодействующая касательных напряжений в стенке балки.

Чтобы деформации кручения не было, внешнюю силу F следует при­ложить в какой-то точке В на расстоянии а от середины стенки и соблю­сти условие

Fa = М_к.Отсюда

Такая точка В называется центром изгиба. Если сечение балки имеет две оси симметрии, то центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

 

Без вывода приведем формулу для определения максимальных касательных напряжений у балки круглого сечения:

Касательные напряжения в балках соответствуют де­формации сдвига, в результате чего плоские поперечные сечения при поперечном изгибе не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а искривляются (рис. 23.21).

Большинство балок рассчитывают только по нормальным напряже­ниям; три вида балок следует проверять по касательным напряжениям,а именно: 1) деревянные балки, так как древесина плохо работает на ска­лывание; 2) узкие балки (например, двутавровые), так как максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрально­го слоя; 3) короткие балки, так как при относительно небольших изги­бающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возни­кать значительные поперечные силы и касательные напряжения.

Максимальное касательное напряжение в двутавровом сечении оп­ределяется по формуле Журавского. В таблицах сортамента приведены значения статического момента площади полусечения для двутавров и швеллеров.

Пример 23.7. Консольная балка, жестко защемленная одним концом в за­делке, состоит из двух деревянных брусьев квадратного сечения, соединенных на другом конце болтом (рис. 23.22). К свободному концу балки приложена сила R = 15 кН. Длина балки l = 2 м. Определить диаметр стержня болта, если допус­каемое напряжение среза [ _ср] = 80 МПа. Размер сечения брусьев а = 20 см.

Решение. Во всех поперечных сечениях балки кроме изгибающего момента возникает поперечная сила Q=R = 15 кН и соответствую­щие ей касательные напряже­ния сдвига, вычисляемые по формуле Журавского, причем максимальные напряжения  возникают на нейтральной оси, т. е. в месте соприкосновения брусьев.

По закону парности такие же касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Тогда

256

 

где Q — поперечная сила, 6=15 10³ Н; S — статический момент площади по­лусечения балки относительно нейтральной оси:

I— момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси:

b — ширина сечения, b = а.

Подставив эти выражения в формулу Журавского, получим:

 

Подставляя числовые значения и учитывая размерности, найдем

 

Сила сдвига F =  А_сд, где А_сд — площадь сдвига,

 

Вычислим F:

Сила F,действующая на стыке балок, стремится срезать болт. Найдем необ­ходимый диаметр d стержня болта из расчета его на срез:

Подставляя это выражение в расчетную формулу, получим

Подставим числовые значения:

где А_ср— площадь среза, равная площади поперечного сечения стержня болта:

Упругая линия балки

Изогнутая под действием нагрузок ось балки представляет собой плавную кривую, которая называется упругой линией. Деформация балки при изгибе характеризуется п р о г и б о м у и углом пово­рота поперечного с е ч е н и я, который равен углу а наклона ка­сательной к упругой линии по отношению к оси z балки. Уравнения про­гибов и углов поворота сечений в общем виде записываются так:

257

 

Из математики известно, что радиус кривизны кривой у = f₁(z) в любой точке определяется по формуле

 

Ввиду малости деформаций (у)² пренебрегаем (так как эта величина значительно меньше единицы), тогда

Ранеемы вывели формулу ; подставляя в нее приближенное

значение радиуса кривизны, получим дифференциальное уравнение упру­гой линии балки:

Чтобы получить уравнение  = f₂(z), углов поворота сечений, надо это уравнение проинтегрировать один раз, причем ввиду малости дефор­маций будем считать, что

Для получения уравнения прогибов у = f₁(z), надо дифференциаль­ное уравнение проинтегрировать дважды.

Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную моментом те, сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q,дающими положительные изгибающие моменты (рис. 23.23).

Начало координат возьмем на левом конце балки, ось у направим вверх, а ось z — вправо. Рассматриваемая балка имеет пять участков, ка­ждому из которых соответствует свое уравнение моментов, уравнение прогибов и уравнение углов поворота сечений. Обратим внимание на то,

что упругая линия балки есть плавная кривая, следовательно, на грани­цах участков значения углов поворота сечения и прогибов, вычис­ленных из уравнений соседних участков, будут совпадать. Интегрирование дифференциальных уравнений будем произ-

 

258

водить, не раскрывая скобок в уравнениях моментов, что сказывается лишь на значениях произвольных постоянных. 1-й участок:

2-й участок:

 

Подставив в уравнения первого и второго участков значение z = a,получим

3-й участок:

4-й участок:

Так как на границах смежных участков справедливы уравнения и предыдущего и последующего участков, то

 

Обозначив ₀угол поворота сечения в начале координат (в радиа­нах), а у₀— прогиб в начале координат, при  z = 0 получим

 

Так как каждой отдельной нагрузке в уравнениях соответствует от­дельное слагаемое, в общем виде можно записать такие уравнения:

— обобщенное уравнение углов поворота сечений;

259

—обобщенное уравнение прогибов.

Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то эту нагрузку следует мысленно продолжить до конца и доба­вить противоположно направленную нагрузку такой же интенсивности (рис. 23.23, участок 5). При этом в обобщенные уравнения углов поворота и прогибов добавится еще по одному слагаемому с отрицательным зна­ком, соответственно:

 

Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по п р а -вилу знаков для изгибающих моментов.

Положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; по­ложительное значение а означает поворот сечения против часовой стрел­ки, и наоборот.

При пользовании обобщенными уравнениями следует помнить, что:

1) для балки, жестко защемленной левым концом,

2) для балки, левый конец которой лежит на опоре,

 

для определения а₀ следует составить уравнение прогибов для второй опоры и приравнять его нулю;

3) в сечении с максимальным прогибом угол поворота сечения = 0, так как в этой точке упругой линии касательная параллельна оси г.

Помимо расчетов на прочность балки нередко проверяют или рас­считывают на жесткость. Условие жесткости заключается в том, что максимальный прогиб (стрела прогиба f) или максимальный угол поворо­та не должны превышать допускаемых величин. Расчетные уравнения на жесткость имеют вид:

Допускаемую величину прогиба обычно задают в долях длины про­лета l, например, для мостов [f]=  Допускаемый угол поворота сечения задают в долях радиана.

Пример 23.8. Определить прогиб у_B свободного конца консольной балки АВ,изгибаемой сосредоточенной силой F (рис. 23.24.).

Решение. Реакция  R_A и момент защемления  т_А соответственно равны:

260

R_A=F, m_A=Fl.

Учитывая, что y₀= 0, d₀= 0, из обобщенного уравнения прогибов нахо­дим

EIy_B=R_Al³/6-m_Al²/2.

Подставив значения R_A и т_А,получим

 

Пример 23.9. Определить максимальный прогиб и углы поворота сечений на опорах балки, показанной на рис.23.25.

Решение. В силу симметрии балки реакции опор равны

Поместим начало координат на левой опоре, тогда у₀ = 0. Для определения Оо используем условие, что при z = l   у_в = 0.

откуда ₀ = -ql³/(24EI).Очевидно, что _B = - ₀.

Наибольшие углы поворота имеют опорные сечения.

Максимальный прогиб находится посередине пролета балки, т. е. при z = l/2. Тогда:

Следовательно,

Пример 23.10. Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис.23.26).

Решение.Реакции рав­ны F/2каждая и направ­лены снизу вверх.

Помещаем начало ко­ординат на левой опоре, тогда у₀= 0.

    Для определения ис­пользуем условие, что при z = l прогиб равен нулю (y_B = 0):

261

откуда

 

Следовательно,

Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре

Максимальный прогиб будет при  z = l/2,тогда

следовательно,

Окончательно

Балки равного сопротивления изгибу.При изгибе балок постоян­ного сечения (за исключением случая чистого изгиба) все сечения, кроме опасного, имеют излишний запас прочности, что свидетельствует о нера­циональном использовании материала. Наиболее рациональной будет такая форма балки, при которой напряжения во всех поперечных сечениях будут равны допускаемому. Такие балки называются балками рав­ного сопротивления изгибу.

Рассмотрим произвольное сечение балки равного сопротивления из­гибу. Обозначим действующий в этом сечении изгибающий момент ,а момент сопротивления .Тогда должно выполняться условие

Отсюда следует, что в балках равного сопротивления изгибу момен­ты сопротивления сечений должны быть прямо пропорциональны изги­бающим моментам:

Изготовление балок равного сопротивления сложно в технологичес­ком отношении, поэтому применение их ограничено.

262

 

Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорию балок равного сопро­тивления изгибу.

Пусть балка АВ прямоугольного сечения жестко защемлена одним концом, а к другому концу ее приложена сосредоточенная сила F,как показано на рис. 23.27, а.При условии равного сопротивления изгибу по всей длине установим: 1) как должна меняться высота h балки при посто­янной ширине b;2) как должна меняться ширина балки при постоянной высоте.

1. Ширина балки постоянна. Изгибающий момент в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии г от свободного конца,

 

Соответствующий момент сопротивления

Здесь b = const, a y — меняется.

Максимальный изгибающий момент будет в защемлении:

Момент сопротивления изгибу в защемлении

Запишем условие пропорциональности изгибающих моментов и мо­ментов сопротивления изгибу:

Это уравнение параболы. Заметим, что объем такой балки равного сопротивления изгибу будет составлять ²/₃ объема балки постоянного се­чения

 b h,что дает экономию материала в 33% (рис. 23.27, б).

2. Высота балки постоянна.Обозначим переменную ширину х, ширину балки в защемлении b,  высоту балки h.Как и в предыдущем случае, запишем

263

Из этого соотношения видно, что ширина балки изменяется по ли­нейному закону. Подобная балка изображена на рис. 23.27, б.По сравне­нию с призматической балкой постоянного сечения экономия материала достигает 50%.

Сравним прогибы балок постоянного сечения и равного сопротивле­ния изгибу при одинаковой прочности и прочих равных условиях.

Сравнивая это значение прогиба с прогибом свободного конца балки постоянного сечения

Формула для вычисления прогиба свободного конца балки равного сопротивления изгибу (без вывода)

приходим к выводу, что наибольший прогиб балки равного сопротивле­ния изгибу в 1,5 раза превосходит прогиб балки постоянного сечения.

Свойство балок равного сопротивления изгибу (с постоянной высо­той) деформироваться значительно больше балок постоянного сечения (при тех же нагрузках и допускаемых напряжениях) используется в слу­чаях, когда необходимо смягчить действие нагрузки, изменяющейся с течением времени, или ударной нагрузки. В частности, листовые рессо­ры, широко применяющиеся на транспорте (вагоны, автомашины), пред­ставляют собой разрезанные на полосы и сложенные стопкой балки рав­ного сопротивления изгибу.

Косой изгиб

До настоящего параграфа мы рассматривали прямой изгиб балок, при котором все нагрузки действовали в одной плоскости, проходящей через одну из главных осей сечения. При таком изгибе деформация оси балки происходит в плоскости действия нагрузок.

Изгиб, при котором плоскость действия нагрузок не совпадает ни с одной из главных осей сечения, называется косым.

Рассмотрим консольную балку длиной l прямоугольного сечения, к концу которой приложена сила F,составляющая с осью у угол (рис. 23.28, а).Разложим силу F на две составляющие, направленные по глав­ным осям сечения, и, пользуясь принципом независимости действия сил, сведем косой изгиб к прямым изгибам в двух взаимно перпендикулярных

264

плоскостях. Очевидно, что опасное сечение будет нахо­диться в заделке и макси­мальные изгибающие мо­менты таковы:

Соответствующие этим изгибающим моментам нор­мальные напряжения в ка­кой-то точке А опасного сечения вычисляют по фор­мулам

где х, у — текущие коорди­наты точки А; I_x, I_у — моменты инерции относительно главных осей.

Суммарное нормальное напряжение в точке А

 

Если заштриховать в разные стороны части сечения, где будут дей­ствовать только напряжения растяжения _1и и _2и, то увидим, что в зоне, заштрихованной в клетку, будут действовать суммарные напряжения рас­тяжения, а в незаштрихованной — суммарные напряжения сжатия (рис. 23.28, б).Очевидно, что максимальное напряжение растяжения возникает в точке D,а максимальное напряжение сжатия в точке Е опасного сече­ния. Эпюры нормальных напряжений показаны на том же рисунке.

Так как на нейтральной оси _А = 0, то ее уравнение имеет вид

 

где х, у — текущие координаты точек нейтральной оси.

Из уравнения видно, что нейтральная ось есть прямая линия, прохо­дящая через начало координат, т. е. через центр тяжести сечения балки. Определим угол  который нейтральная ось составляет с осью х:

Из этого равенства видно, что если I_x  I_уто и нейтральная ось не перпендикулярна линии действия силы F.

265

Пользуясь принципом независимости действия сил, определим на­правление прогиба балки под действием силы F. Прогиб f_x в направлении оси хравен

Прогиб fy в направлении оси у будет

Суммарный прогиб f определится по формуле

Обозначив угол между направлением суммарного прогиба и осью х, получим

Сравнивая это выражение с формулой для определения tg , видим, что ctg и tg отличаются только знаком, следовательно, сами углы раз­нятся на 90° и суммарный прогиб балки происходит в плоскости, перпен­дикулярной нейтральной оси. Отсюда вытекает, что при косом изгибе плоскость прогиба не совпадает с плоскостью действия нагрузок.

Глава 24

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1417; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!