Расчеты на прочность при изгибе

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что макси­мальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превы­шать допускаемое.

Полагая, что гипотеза о ненадавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения

247

 

в поперечном сечении вычислять при поперечном изгибе по той же формуле, что и при чистом изгибе. Вопрос о про­верке прочности балки на касательные напряжения, а также о расчете балок на жесткость будет изложен в последую­щих параграфах.

Расчетная формула на прочность при изгибе имеет вид

 

и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле = М_{и max}/W , не должно превышать допускаемое. Допус­каемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как и при растяжении и сжатии.

Максимальный изгибающий момент определяют из эпюр изгибаю­щих моментов или расчетом.

Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W,тем меньше будут расчетные напряжения.

Определим моменты сопротивления изгибу наиболее рас­пространенных сечений:

1. Прямоугольник b h (рис. 23.15):

 

 

Если балку прямоугольного сечения положить плашмя, то

 

тогда

следовательно, при прочих равных условиях максимальные нормальные на­пряжения ' у прямоугольной балки, положенной плашмя, будут больше, чем у той же балки, когда ее наибольший габаритный размер h вертикален (имеет­ся в виду, что изгиб происходит в вертикальной плоскости).

Из сказанного следует правило: для обеспечения максимальной прочности ось, относительно которой момент инерции максимален, должна быть нейтральной.

2.Круг диаметром d:

248

3. Кольцо размером D d:

 

Момент сопротивления кольцевого сечения нельзя вычислять как разность моментов сопротивлений большого и малого кругов. Нетрудно подсчитать, что при одинаковой площади поперечного сечения, т. е. оди­наковом расходе материала, момент сопротивления кольцевого сечения больше момента сопротивления сплошного круглого сечения.

Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгод­но больше материала располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому в машиностроении редко применяют металлические балки прямоугольного сечения, но весьма широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений. Момен­ты инерции, моменты сопротивления и другие характеристики прокатных фасонных профилей стандартных размеров даются в таблицах ГОСТа.

Для балок, материал которых неодинаково работает на растяжение и сжатие (например, чугун), целесообразно применять профили, не сим­метричные относительно нейтральной оси, например тавровый или П-образный. Так как у несимметричного профиля при изгибе возникают неодинаковые напряжения растяжения и сжатия, то сечение, напри­мер, чугунной балки выгодно располагать так, чтобы меньшие напря­жения были в зоне растянутых, а большие — в зоне сжатых волокон (рис. 23.16).

Проведем сравнение экономичности по массе балок двутаврового, прямоугольного и квадратного сечений.

Предположим, что из расчетного уравнения мы определим момент сопротивления изгибу балки:

 

По таблицам ГОСТа выбираем двутавровый профиль № 45 с площа­дью поперечного сечения А_дв = 83 см².

Определим размеры прямоуголь­ного сечения, полагая h = 2b:

Отсюда см;

h = 2b = 24,4 см; А_пр=bп = 12,2  24,4 =

= 297 см².При прочих равных услови­ях массы балок пропорциональны пло­щадям поперечных сечений:

249

Балка прямоугольного сечения в три с половиной раза тяжелее балки дву­таврового профиля при одинаковой прочности и прочих равных условиях.

Определим размеры квадратного сечения со сто­роной a: W = а³/⁶ = 1200 см²> отсюда а = = 19,4 см; А_кв = а²= 375 см²; А_кв/А_дв = 375/83 4,5.

Балка квадратного сечения в четыре с половиной раза тяжелее балки двутаврового профиля при одинаковой прочности и прочих равных

условиях.

Пример 23.5. Определить номер профиля консольной балки двутаврового сечения, если допускаемое напряжение при изгибе [ ]= 120 МПа, F = 2000 Н,

q = 4000 Н/м, l = 2 м (рис. 23.17).

Решение. Очевидно, что у данной балки, работающей на изгиб, максималь­ный изгибающий момент будет в заделке и определится по формуле:

 

Подставив данные, получим абсолютное значение момента

Расчетное уравнение на прочность при изгибе имеет вид:

отсюда

Найдя по таблицам сортамента ближайшее большее значение для W_x,выби­раем двутавровое сечение № 12, для которого W_x = 58,4 см². Если сечение балки повернуть на 90°, т. е. расположить полки вертикально, а стенку — горизонталь­но (рис.23.17), то потребуется профиль № 30 (при таком расположении сечения двутавр подбирается по W_y).В этом случае балка окажется в три раза тяжелее.

Пример 23.6. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 23.18, если F = 20 кН, q = 20 кН/м, т = 8 кН м, а = 0,8 м. Проверить балку на прочность, если ее профиль — двутавр № 20, а допускаемое напряжение [ ] = 150 МПа.

Решение. Определим опорные реакции R_Bи R_D, составив уравнение момен­тов относительно точек В и D.

250

Подставив данные и про­изведя вычисления, получим

R_D= 22 кН;

т -R_B За + F 2а - qa 0,5a =0 .

Подставив данные и про­изведя вычисления, получим

R_B = 14 кН.

Построим эпюру Q.На пер­вом участке Q₁ = 0, так как алгеб­раическая сумма сил пары все­гда равна нулю.

На втором участке

Q ₂ = R_в=14кН.

На третьем участке

Q ₃ = R_в -F =14-20 = -6кН.

На этих участках эпюра Q изображается прямыми линиями, параллельными оси.

Четвертый участок рассмотрим, взяв начало координат на правом конце балки:

Q₄ = qz, где z изменяется от 0 до а,

при z = 0   Q₄ = 0,

при z = а      Q₄= qa = 20 0,8 = 16 кН.

Эпюра изображается прямой наклонной линией.

В точке D эпюра Q имеет скачок, равный опорной реакции R_D.

Построим эпюру М_и. На первом участке

M_1и = - m = - 8 кН.

На втором и третьем участках строим эпюру по значениям изгибающего мо­мента на границах участков: в сечении В

М_2и = - т = - 8 кН;

в сечении С

М_2и = -т + R_B a = - 8+ 14 0,8 = 3,2 кН м;

в сечении D

М_3и = -т + Rb 3а -F 2a=-8+ 14 3 0,8 - 20 2 0,8 = -6кН м.

На первых трех участках эпюра М_иизображается прямыми линиями.

Для построения эпюры М_ина четвертом участке начало координат возьмем на правом конце балки, тогда

М_4и = - qz² /2, где z изменяется от 0 до а,

при z = 0  М_4и= 0;

при z = а  М_4и = - qa²/2= - 20 0,8²/2 = -6,4 кН м.

На четвертом участке эпюра М_и — дуга параболы.

Проверим балку на прочность. Наибольший изгибающий момент будет на первом участке:

251

Расчетная формула на прочность при изгибе:

 

По таблицам сортамента находим значение момента сопротивления для дву­тавра №20:

Подставляя значения и учитывая размерности, получаем

Условие прочности < [ ]выполнено. В данном случае балка работает с большой недогрузкой, следовательно, можно балку изготовить из двутавра мень­шего размера, например, № 14.

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1280; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!