Нормальные напряжения при чистом изгибе
Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.
Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и CD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис. 23.12). Радиус кривизны нейтрального слоя обозначим р.
|
|
| Из подобия треугольников запишем равенство: |
|
|
Рассмотрим слой волокон тп, находящийся на расстоянии у от нейтрального слоя NN.Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину пn1.Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны 
Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т.е.
nn1/ds = 
,то у/ 
= .
Применив закон Гука при растяжении и сжатии 
= Е ,получим
Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси.По ширине сечения нормальные напряжения не меняются. Закон распределения нормальных напряжений изображен на рис. 23.13.
Полученная формула для вычисления нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя. Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим
|
|
|
245
|
|
|
|
моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 23.14.
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA,в пределах которой будем считать нормальные напряжения постоянными; тогда нормальная сила dN, действующая на площадку dA,будет равна
Составим два уравнения равновесия:
или
( для данного сечения есть величина постоянная, поэтому она вынесена за знак интеграла). Так как Е и не равны нулю, то
Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси х,т. е. нейтральной оси. Равенство нулю статического момента означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;
Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту Ми= т,то
246
откуда
где 
— момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; EI — жесткость сечения при изгибе.
Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения Ми = const и I = const, то
Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности.
Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для вычисления нормальных напряжений; тогда
|
|
|
Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:
где W = I/ymax — момент сопротивления сечения изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м3. Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляем по формуле
Обратим внимание на то обстоятельство, что эта формула по структуре аналогична формулам для вычисления напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 383; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!