Дифференциальные зависимости при изгибе



Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени замечательного русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821—1891). Эта теорема формулируется так: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.

Рассмотрим балку (рис. 23.7). Начало координат возьмем на левом конце балки, а ось z направим вправо (в дальнейшем это будет иметь су­щественное значение).

237



На одном из участков балки возьмем сечение с те­кущей координатой z и запи­шем уравнение изгибающе­го момента:


 



Продифференцировав это выражение по координате z, получим


Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть попереч­ная сила Q в сечении z.Таким образом,


теорема доказана.

Если уравнение изгибающих моментов (для участков с равномерно распределенной нагрузкой) продифференцировать вторично, то получим

т. е. вторая производная от изгибающего момента или первая производ­ная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Как известно из высшей математики, по знаку второй производной функции можно судить о выпуклости или вогнутости кривой; соответст­вующее правило следует использовать при построении эпюр.

Эпюры поперечных сил

И изгибающих моментов

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки попе­речных сил и изгибающих моментов строят эпюры, которые дают воз­можность определить предположительно опасное сечение балки и установить значения поперечной силы и изгибающего момента в этом сечении.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала составляют аналити­ческие выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка как функций текущей координаты z поперечного сечения:

238


Затем по полученным уравнениям строят эпюры.

Второй способ заключается в построении эпюр по характерным точкам и значениям поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков. Применяя этот способ, в большинстве случаев можно обойтись без составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов. При наличии некоторого опыта второй способ предпочтительнее.

При построении эпюр следует руководствоваться приведенными ни­же правилами:

1. Эпюру моментов строят на сжатом волокне,т. е. положительные моменты (и положительные поперечные силы) откладывают вверх от оси, а отрицательные — вниз.

2. Пользуясь принципом смягченных граничных условий, будем по­лагать, что в сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение по­перечной силы меняется скачкообразно,причем скачок равен модулю этой силы.

3. На том же основании будем полагать, что в сечении, где приложе­на пара сил (момент), значение изгибающего момента меняется скачко­образно, причем скачок равен моменту пары.

4. Правильность построения эпюр следует проверять с помощью
теоремы Журавского.


где — угол, который составляет касательная к эпюре моментов с поло­жительным направлением оси z.Согласно теореме Журавского,



Как известно из математики, если Ми = f (z), то

(масштабы Ми и z полагаем численно равными единице), следовательно, если угол а острый, то Q > 0 и изгибающий момент на участке возраста­ет; если угол а тупой, то Q < 0 и изгибающий момент на участке убыва­ет; если а = 0 на всем участке, то Ми = const, Q = 0 и на этом участке возникает чистый изгиб; если а = 0 в одной точке эпюры моментов, то в этом сечении Q = 0, а изгибающий момент имеет экстремальное (макси­мальное или минимальное) значение. В сечении, где на эпюре попереч­ных сил имеется скачок, на эпюре изгибающих моментов будет резкое изменение направления касательной.

Чтобы правила знаков для изгибающих моментов и поперечных сил не противоречили знакам, полученным на основании теоремы Журавско-

239


го, при проверке эпюр следует ось z мысленно всегда направлять слева направо.

5. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра моментов, вообще говоря, представляет собой наклонную прямую, а эпюра попереч­ных сил прямую, параллельную оси.

6. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил наклонную прямую.

7. На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не при­ложена пара сил.

8. При построении эпюры для консольных балок начало координат удобно брать на конце консоли, что нередко дает возможность обойтись без определения опорных реакций. В сечении, соответствующем заделке, поперечная сила равна реактивной силе, а изгибающий момент реак­тивному моменту.

Пример 23.1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, шарнирно закрепленной двумя концами и нагруженной сосредоточен­ной силой (рис. 23.8).

Решение. Начало координат поместим на левом конце балки, а ось направим вправо. Данная балка состоит из двух участков.

Определим опорные реакции RAи RВ> составив уравнения моментов относи­тельно опор А и В:



 


Проверим правильность определения реакций, составив уравнение проекций наось y:

Полученное тождество 0 = 0 говорит о том, что реакции опре­делены правильно.

Приступаем к построению эпюр, применяя для этого метод сечений.

Построение эпюры поперечных сил. На пер­вом участке поперечная сила Q1 положительна, постоянна и равна RА, так как слева о сечения 1—1 других сил нет.

240



Откладываем вверх от оси эпюры в произвольном масштабе Q1= RA =Fb/l;

затем проводим прямую, параллельную оси эпюры.

Значение поперечной силы на втором участке будет равно Q2,где


(то же получим, если рассмотрим часть балки, расположенную справа от сечения 22).

В точке приложения сосредоточенной силы F эпюра Q имеет скачок, чис­ленно равный F.

Вид эпюры Q показан на рис.23.8.

Построение эпюры изгибающих моментов. В сечении 11 на первом участке изгибающий момент равен М = RА z, причем z изменяется от 0 до а.Поскольку z входит в это уравнение в первой степени, эпюра моментов будет представлять собой прямую линию.

Для построения эпюры М достаточно найти значения моментов на грани­цах участка, т.е. при z = 0 и z = а:

при z= 0 М=0; при z = а М =Fba/l.

Для определения изгибающего момента в сечении 2 2 проще рассмотреть правую часть балки, на которую действует одна сила:

причем z меняется от а до l.

Эпюра моментов на втором участке также будет изображаться прямой линией. Найдем значения изгибающего момента на границах участка:

при z = а  М= Fa(l - а)/l= Fab/l;

при z = l  M = Fa(l - l)/l = 0.

По полученным значениям строим эпюру М и.Наибольшее значение Ми бу­дет иметь в сечении, где приложена сила F.

Ми max = Fab/l.

Это сечение будет предположи­тельно опасным.

В частном случае, когда сила F приложена в середине балки,

а=b = l/2 и Ми max =Fl/4.

Пример 23.2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, шарнирно закреп­ленной двумя концами и нагруженной парой сил с моментом  т (рис. 23.9).

Решение. Выберем начало коор­динат на левой опоре, а ось z напра­вим вправо. Балка имеет два участка. Так как пару сил можно уравновесить только парой, то



 


Построение эпюры поперечных сил. Для всех сечений пер­вого и второго участков поперечная сила Q будет постоянна, отрицательна и равна Q = RA = - т/1. Следовательно, эпюра будет прямой линией, параллельной оси.

Построение эпюры изгибающих моментов. На первом участке М= - RA z, причем z меняется от 0 до а:

при z = 0  М = 0;

при z = а  М= -RAa = -та/l.

На втором участке М = -RA z + т,причем z меняется от а до l:

при z= а  М =- RA a +m= -ma/l + m = mb/1;

при z = l  М = -RA l+m= - (m/J)/l + m = 0.

Эпюру Мичасто можно построить не составляя уравнений по значениям Ми на границах участков.

Пользуясь ранее приведенными правилами, устанавливаем, что на концах балки Ми = 0; в сечениях, бесконечно близких к паре сил слева и справа от нее, изгибающий момент будет

В точке приложения пары сил эпюра Миимеет «скачок», величина которого равна моменту пары.

Построенная по найденным значениям эпюра Мипоказана на рис.23.9. Заме­тим, что на основании теоремы Журавского



 


следовательно, наклонные линии эпюры Мина обоих участках должны быть па­раллельны между собой.

Полагая b > а,находим наибольшее значение изгибающего момента:



В частном случае, когда внеш­ний момент т приложен в середине пролета балки,

а = b = l/2 и Ми max = + т/2 .

Пример 23.3.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих мо­ментов для балки, свободно лежащей на двух опорах и нагруженной равно­мерно распределенной нагрузкой интенсивности q (рис.23.10).

Решение.В силу симметрично­сти распределения нагрузки по всей длине балки опорные реакции равны между собой:


242




Построение эпюры поперечных сил. Данная балка имеет один участок. В любом сечении поперечная сила


Поскольку z входит в это уравнение в первой степени (линейная зависи­мость), то эпюра Q будет прямолинейной. Для построения эпюры достаточно значений поперечной силы в двух точках:

при z = 0 Q = ql/2;

при z = l Q= ql/2-ql= -ql/2.

Эпюра Q показана на рис. 23.10.


Это уравнение параболы. Вычислим значения Ми:



Построение эпюры изгибающих моментов. Выражение для изгибающего момента в любом сечении балки имеет вид

Очевидно, что при z = l  Ми = 0.

По найденным значениям строим эпюру Ми,как показано на рис. 23.10.

Поскольку вторая производная

т. е. меньше нуля, то эпюра Ми будет расположена выпуклостью вверх.

Согласно теореме Журавского максимальное значение изгибающего момен­та будет в середине пролета балки, где Q = = 0

Пример 23.4. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для консольной балки АС,свободно лежащей на двух опорах и нагруженной рав­номерно распределенной нагрузкой интенсивности q = 200 Н м, как показано на рис. 23.11.

Решение. Определим реакции RАи RВ:

243


Переходим к построению эпюры Q.Балка имеет два участка.

На первом участке поперечная сила Q1 = RА- qz,причем z меняется от 0 до 4 м

    при z = 0  Q1= RА = 300Н;

при z= 4м Q1 = 300-200 4 =

 = 300 - 800 = -500 Н.

Для упрощения построения эпюры Q на втором участке возьмем начало координат в точке С и направим ось z влево, тогда Q2= qz,причем z меняется от 0 до 2 м

   при z = 0  Q2 = 0;

  при z = 2м Q2= 200 2 = 400Н.

На границе участков в точке В эпюра Q имеет «скачок», равный по величине опорной реакции Rв = 900 Н.

Найдем точку оси, в которой Q = 0. Для этого запишем



 


На основании теоремы Журавского можно ожидать в этой точке экстремальное значение изгибающего момента. Переходим к построению эпюры Ми. На первом участке выражение для изгибающего момента имеет вид

Эпюра Мибудет представлять собой параболу. Вычислим значения Мв трех точках:

при  z = 0    М= 0;

при z = 1,5 м М= 300 1,5 -200 1,52/2 = 450 - 225 = 225 Нм; при z = 4м М= 300 4-200 42/2 = 1200-1600 = -400Нм. Для второго участка, взяв за начало координат точку С, получим



 


Вычислим Мна границах участка:

при z = 0   М = 0;

при z = 2м М= -200 22/2 = -400Н м.

По найденным значениям строим эпюру Ми.


Поскольку в данном примере


эпюра Мина обоих участках


будет направлена выпуклостью вверх.

Из построенных эпюр видно, что опасным будет сечение балки на опоре В.

244


Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 795; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!