Метод Монте-Карло вычисления определенных интегралов: расчетная формула, алгоритм метода.
Численное нахождение определенных интегралов. Метод Монте-Карло относительно просто приспосабливается к форме области интегрирования [4], эффективно распараллеливается. Для учебных целей мы ограничимся только случаем одномерного интеграла и сравним результаты решения, полученные этим способом, с результатами выполнения лабораторных работ № 3, 4. Расчетная формула решения поставленной задачи вычисления однократного интеграла методом Монте-Карло [4]:
(8)
где 
– независимые реализации случайной величины 
, равномерно распределенной на отрезке 
с единичной плотностью распределения; 
– число реализаций. В случае однократного интеграла этот метод проигрывает другим, так как приемлемая точность достигается при слишком больших значениях . Поэтому на практике метод Монте-Карло применяется только для вычисления многократных интегралов. Границы применимости этого метода могут быть расширены в случае параллельной реализации.
Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
Предположим, требуется вычислить определённый интеграл 
Рассмотрим случайную величину 
, равномерно распределённую на отрезке интегрирования 
. Тогда 
также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как
, где 
— плотность распределения случайной величины , равная 
на участке .
Таким образом, искомый интеграл выражается как
.
Но матожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.
Итак, бросаем 
точек, равномерно распределённых на , для каждой точки 
вычисляем 
. Затем вычисляем выборочное среднее: 
.
В итоге получаем оценку интеграла: 
Точность оценки зависит только от количества точек .
Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как 
, и суммируем их площади.
[править]Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования
Рисунок 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло
Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:
§ ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого 
можно легко вычислить;
§ «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек ( штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;
§ определим число точек ( 
штук), которые попадут под график функции;
§ площадь области, ограниченной функцией и осями координат, 
даётся выражением 
Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 480; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!