Абсолютная и относительная погрешности деления.
Погрешность частного: относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.
Пример. Найти частное u = 25.7 / 3.6, если все написанные знаки делимого и делителя верны.
Решение. u = 25.7 / 3.6 = 7.14 . du = dx1 + dx2 = 0.05/25.7 + 0.05/3.6 = 0.002 + 0.014 = 0.016 . Так как u = 7.14, то Du = 0.016 · 7.14 = 0.11 . Поэтому u = 7.14 ± 0.11 .
Абсолютная и относительная погрешности деления.
Для частного двух чисел вычисления будут аналогичными.
Находим натуральный логарифм и его частные производные
,
, 
следовательно, предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.
Абсолютная погрешность результата вычисления функции нескольких приближенных чисел равна сумме произведений модуля частной производной функции на абсолютнуюпогрешность приближенного числа.
Методы центральных прямоугольников, трапеций и Симпсона вычисления определенных интегралов: расчетные формулы, порядок точности, оценка погрешности, вычисление погрешности по правилу Рунге.
Требуется найти 
с той или иной степенью точности. Известны три классических способа сделать это.
Способ № 1: метод прямоугольников. Отрезок 
разбивается на 
равных частей: 
длиной 
, где
.
Затем на каждом участке 
функция 
заменяется на константу 
, после чего искомый интеграл заменяется на интеграл от новой ступенчатой функции, т.е. на число
|
|
|
.
Можно доказать, что справедлива следующая оценка:
,
где 
- максимум модуля первой производной функции 
на отрезке 
.
Способ № 2: метод трапеций.
В этом методе искомый интеграл после разбиения отрезка на равные части заменяется на следующую сумму (суммируются площади трапеций, а не прямоугольников, как в предыду-щем случае):
,
где 
Можно доказать, что если 
- исходный обсуждаемый интеграл,то
,
где 
на отрезке 
.
: Способ № 3: метод парабол(Cимпсона). В этой ситуации отрезок 
разбивается на 
равных частей: 
, где 
. На участках 
, функцию 
заменяют на параболу, проходящую через точки 
и интегралом от этой параболы на участке 
заменяют интеграл от функции 
на этом же участке, после чего все эти интегралы суммируют и результаты принимают за интеграл от по всему отрезку 
. Полученная приближенная формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. Вот ее окончательный
вид:
.
Если левую часть этого приближенного равенства обозначить через I а правую – через S, то окажется выполненной следующая формула для оценки погрешности:
,
где 
- максимум на интервале 
четвертой производной функции 
.
|
|
|
существует еще один широко применяемый метод - метод Рунге-Кутта, который, как правило, быстрее приводит к числу 
, чем метод Эйлера. Сформулируем действия по методу Рунге-Кутта:
1й шаг. Фиксируем точность, с которой нужно найти значение 
. Обозначим это число через 
. Поясним, что это означает, что числа, отличающиеся меньше, чем на , считаются одинаковыми.
2й шаг. Фиксируем произвольное 
и разделим отрезок 
на равных частей: 
, где 
.
3й шаг. Построим последовательность чисел
, где
и
в которой, напомним, 
. Обозначим 
через 
.
4й шаг. Заменим на 
и повторим шаги 2 и 3. Полученное число (т.е. послед-нее из вычисляемых на шаге 3) обозначим теперь через 
.
5й шаг. Если окажется, что числа и отличаются друг от друга меньше, чем на , то число 
считается найденным и равным 
. В противном случае переобозначим через и вернемся к шагу 4.
Можно доказать, что когда функция 
из (7.4.1) имеет непрерывные частные производные, описанный процесс обязательно конечен и ответ находится действительно с любой наперед заданной точностью.
27. Общее понятие «численный метод».
Численный метод наряду с возможностью получения результата должен обладать еще одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.
|
|
|
Основные источники погрешностей:
1. Погрешности математической модели.
Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.
2. Погрешности исходных данных.
Данные могут оказаться неточными.
3. Погрешности метода решения.
Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.
4. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.
В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.
Рассмотрим подробнее пункт 4.
Пусть 
- приближенное представление числа X, т.е.
,
где 
- погрешность.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 555; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!