Понятия «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность».Реальные оценки погрешностей.
Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения Хизм и истинным (действительным) значением Хд измеряемой величины.
Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности
измерения к действительному значению измеряемой величины:
Выражается в процентах.
Метод Ньютона решения нелинейных уравнений: условие сходимости, выбор начального приближения, вывод итерационной формулы, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода. Модификации метода Ньютона: метод с разностной производной, упрощенный метод
Метод Ньютона
Вывод итерационной формулы
|
Рис. 1.3 |
из последнего соотношения получаем
1) принимаем и вводим в ЭВМ начальное значение x и допустимую погрешность вычисления корня ε;
2) присваиваем величине x0 значение x;
3) вычисляем новое значение
;
4) анализируем условие 
. если это условие выполняется, то переходим к пункту 2, т. е. продолжаем поиск корня; иначе выводим в качестве результата величину x.
Данный метод предполагает наличие у функции f(x) не только свойства непрерывности, но еще и дифференцируемости. Однако метод Ньютона можно применять и для недифференцируемых функций. В этом случае можно воспользоваться разностным аналогом производной
.
Такой подход иллюстрируется на рис. 1.4.
а б
|
|
|
Рис. 1.4: а – начало; б – продолжение
Алгоритм метода Ньютона с разностной производной:
1) вводим в ЭВМ xи ε;
2) формируем дополнительную точку x1 = x + 0,1;
3) формируем две точки для проведения секущей
x0 = x1,
x1 = x;
4) вычисляем новое значение
;
5) анализируем условие 
. если это условие выполняется, то переходим к пункту 3, т. е. продолжаем поиск корня; иначе выводим в качестве результата величину x.
Метод Ньютона нельзя использовать для функций, у которых в окрестности корня производная близка к нулю.
Упрощенный метод Ньютона
Если производная функции f′(x) в процессе поиска корня изменяется мало, то можно еë вычислить один раз в начальной точке x0.
Тогда итерационная формула поиска запишется в виде:
Данный подход иллюстрируется на рис. 1.5.
Рис. 1.5
Метод Ньютона сходится быстро, однако для обеспечения его сходимости нужно определённым образом задавать начальную точкуx0.
Условие сходимости (необходимое и достаточное) (см. рис. 1.6):
.
а б
Рис. 1.6
Правила записи приближенных чисел, понятия «значащие цифры числа» и «верные значащие цифры числа».
|
|
|
Правила записи приближенных чисел
Для каждого приближенного числа обязательно указывается его погрешность. Запись вида
a = a* ± D ( a *) означает, что a* является приближенным значением числа a с абсолютной погрешностью D (a *). Если же a* является приближенным значением числа a с относительной погрешностью d (a * ), то пишут так: a = a * ( 1 ± d ( a * )).
Значащие цифры в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, если измерение произведено с точностью до 0,0001 и дало результат 0,0320, то З. ц. будут 3, 2 и 0.
Значащая цифра приближенного значения а, находящаяся в разряде, в котором выполняется условие: абсолютная погрешность не превосходит половину единицы этого разряда, называется верной. Значащие цифры разрядов, где не выполняется данное условие, называются сомнительными.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 350; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!