Метод бисекции решения нелинейных уравнений: условие локализации корня, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.
Пусть задана непрерывная функция y = f(x). Требуется найти корень уравнения f(x) = 0.
Принимается, что найден интервал [a, b], содержащий одну точку x, в котором значение функции равно нулю. Этому соответствует выполнение условия, что знаки функции на концах интервала различные.
Интервал [a, b], содержащий точку корня, называется интервалом неопределённости. Методом бисекции, как и другими численными методами, можно сократить длину этого интервала до любой наперёд заданной малой величины ε, т.е. найти корень с погрешностью, не превышающей ε.
Процесс поиска корня состоит из нескольких шагов последовательного приближения (итераций). На каждом шаге вычисляется контрольное значение (точка c = (a + b) / 2). Далее анализируются знаки значений функции f(a) и f(c). Если эти знаки одинаковые, то на следующем шаге поиска берётся интервал [a, b], у которого a = c (таким образом, отсекается левая половина предыдущего интервала), иначе (если знаки f(a) и f(c) разные) назначается b = c (таким образом, отсекается правая половина предыдущего интервала).
Процесс поиска продолжается, пока интервал [a, b] имеет длину b – a> ε. В противном случае получаем результат с точностью ε. В качестве значения корня можно принять любую точку последнего интервала [a, b].
В связи с выбором точки c в середине отрезка между точками a и b и отсечением той или иной половины этого отрезка данный метод ещё называется методом деления отрезка пополам.
|
|
|
Так как искомая точка корня функции всегда лежит между концами постоянно сжимающегося отрезка, то можно сказать, что корень взят в вилку. Отсюда происходит третье название данного метода: метод «вилки».
Метод бисекции – простой и надежный метод. Он сходится, т.е. приводит к желаемому результату, для любых непрерывных функцийf(x). При этом скорость сходности невелика.
Количество итераций можно вычислить следующим образом:
– исходная длина отрезка равна b – a;
– после первой итерации получаем
;
– в конце, после n итераций, будет
– отсюда имеем выражение
– при b– a = 1 и ε = 0,001 получается количество итераций n = 10.
Погрешности представления (округления) чисел в ЭВМ. Понятие «представимое множество ЭВМ». Способы округления.
10. Метод итераций решения нелинейных уравнений: условие сходимости, получение вспомогательной функции, алгоритм решения, условие окончания, надежность и эффективность метода.В данном методе предварительно решаемое уравнение f(x) = 0 заменяется эквивалентным, содержащим отдельно величину x. При этом на основе выражения исходной функции f(x) получается выражение вспомогательной функции φ(x) и решается уравнение x – φ(x) = 0. При нахождении корня x будет x = φ(x). Так как данный метод даёт результат с погрешностью, не превышающей заданную величину ε, то фактически условие остановки процесса поиска будет |x – φ(x)| ≤ ε.
|
|
|
Алгоритм метода итераций:
1) принимаем и вводим в ЭВМ начальное значение x и допустимую погрешность вычисления корня ε;
2) присваиваем величине x0 значение x;
3) вычисляем новое значение x = φ(x0);
4) анализируем условие |x – x0| > ε: если это условие выполняется, то переходим к пункту 2, т.е. продолжаем поиск корня; иначе выводим в качестве результата величину x.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 546; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!