Трудоёмкость метода простых итераций
Количество действий этого метода на одной итерации
Qитер = 2n2 + 5n.
Однако надо иметь в виду, что решение по этому методу получается после выполнения нескольких итераций. Количество их зависит от требуемой точности.
5. Понятие «обусловленность вычислительной задачи» и оценка обусловленности задачи.Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности вычислительной задачи является число обусловленности, которое можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных.
6. Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений: класс метода, оценка трудоемкости, условие сходимости, получение начального приближения, алгоритм решения, условие окончания.Этот метод является модификацией метода простых итераций. Здесь при вычислении (s + 1)-го приближения очередного zi ≈ xi учитываются уже найденные ранее (s + 1)-е приближения неизвестных 
.
Это может быть выражено следующими формулами:
,
где 
– предыдущее (начальное) приближение решения;
– «невязка» решения,
|
|
|
Условие сходимости метода Зейделя
Метод Зейделя сходится при условии, что диагональные коэффициенты матрицыА исходной системы по абсолютной величине равны или больше абсолютной величины любого другого коэффициента в своей строке: 
Наглядное представление метода Зейделя
S = 0 – начало вычислений;
i= 1 – вычисление «невязки» для x1 и нового приближения 
на основе вектора начальных приближений:
i= 2 – вычисление «невязки» для x2 и нового приближения 
с использованием нового :
и так далее при i= 3, 4,…, n.
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью e, то в силу (3.37) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство
Источники погрешностей вычислений.
Существуют четыре источника погрешностей, возникающих в результате численного решения задачи.
1. Математическая модель. Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта. Например, если при моделировании экономической системы не учитывать инфляции, а считать цены постоянными, трудно рассчитывать на достоверность результатов. Погрешность математической модели называется неустранимой. Будем в дальнейшем предполагать, что математическая модель фиксирована и ее погрешность учитывать не будем.
|
|
|
2. Исходные данные. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, так как они либо неточно измерены, либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач. Например, масса снаряда, производительность оборудования, предполагаемая цена товара и др. Во многих физических и технических задачах погрешность измерений составляет 1 – 10%. Погрешность исходных данных так же, как и погрешность математической модели, считается неустранимой и в дальнейшем учитываться не будет.
3. Метод вычислений. Применяемые для решения задачи методы как правило являются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, функцию – многочленом, производную – разностью и т. д. Погрешность метода необходимо определять для конкретного метода. Обычно ее можно оценить и проконтролировать. Следует выбирать погрешность метода так, чтобы она была не более, чем на порядок меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность снижает точность решения, а меньшая требует значительного увеличения объема вычислений.
4. Округление в вычислениях. Погрешность округления возникает из-за того, что вычисления производятся с конечным числом значащих цифр (для ЭВМ это 10 – 12 знаков). Округление производят по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется; в противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. При решении больших задач производятся миллиарды вычислений, но так как погрешности имеют разные знаки, то они частично взаимокомпенсируются.
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1285; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!