Задание 5. На основании результатов полученных в заданиях 2, 3 проведите сравнительный анализ методов численного интегрирования
Таблица 4.1 – Варианты заданий
Вари-ант | Подынтегральная функция f(x) | Интервал интегрирования [a,b] | Кол-во частей разбиения n | Шаг h | Первообразная функция |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | [0; 1] | 50 | 0,02 | ||
2 | [0; 2] | 200 | 0,01 | ||
3 | [0; 1] | 40 | 0,025 | ||
4 | [1; 2] | 40 | 0,025 | ||
5 | [1; 2] | 80 | 0,0125 | ||
6 | [0; 2] | 50 | 0,04 |
Окончание табл. 4.1
7 | [1; 3] | 40 | 0,06 | ||
8 | [0; 1] | 40 | 0,025 | ||
9 | [0; ] | 60 | 0,026 | ||
10 | [2; 3] | 40 | 0,025 | ||
11 | [1; 2,5] | 50 | 0,03 | ||
12 | [0; ] | 60 | 0,026 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Назовите сущность и отличия известных Вам методов численного интегрирования.
2. Поясните геометрический смысл определенного интеграла.
3. Поясните алгоритм вычисления определенного интеграла методами трапеций и Симпсона.
4. Как оценить точность вычисления определенного интеграла?
5. Каковы преимущества формулы парабол по сравнению с формулой трапеций и следствием чего являются эти преимущества?
6. В каких случаях приближенные формулы трапеций и парабол оказываются точными?
7. Как влияет на точность численного интегрирования величина шага?
Тема 5
Численное решение дифференциальных уравнений
Постановка задачи.Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) или их системы часто используют для построения математических моделей динамических процессов.
Динамические процессы — процессы перехода физических систем из одного состояния в бесконечно близкое другое. Примерами могут служить явления, возникающие в электрических сетях, распространение радиоволн, движение материальных точек, изменение химического состояния вещества и т. д.
|
|
Точные методы решения ДУ позволяют выразить решение через элементарные или специальные функции. Однако классы таких уравнений достаточно немногочисленны и охватывают малую часть возникающих на практике задач. В силу этого, важное значение приобретают приближенные численные методы решения ДУ.
Пусть требуется решить задачу Коши:
y'(x) = f(x,y),
y0 = y(x0) — начальное условие, (5.1)
[x0, xn] — отрезок,
.
Для решения ДУ n-го порядка используют метод понижения производной, т. е. уравнение n-го порядка сводят к системе n уравнений n-го порядка способом замены переменных.
(5.2)
Методы решения одного уравнения 1-го порядка распространяются на систему уравнений 1-го порядка.
Сущность численных методов решения ДУ.На отрезке [x0, xn] выбирается некоторое множество точек. Оно называется сеткой (x0<x1<x2<…<xn). В полученных точках вычисляются приближенные значения y1,y2,…,yn. Эти решения и будут являться решением задачи Коши. Величина называется шагом сетки. В большинстве случаев h = const, xn = x0 + kh.
|
|
Проблема численного решения ДУ заключается в построении алгоритма вычисления. Различают одношаговые и многошаговые методы решения ДУ. Метод Эйлера и метод Рунге-Кутта относятся к одношаговым. Многошаговыми методами являются методы прогноза и коррекции. Для метода Адамса необходимо знать две предыдущие точки, для метода Милна — три точки. Их преимущество в том, что для них существует формула оценки погрешности.
Метод Эйлера.Методы группы методов Рунге-Кутта различаются друг от друга объемом производимых вычислений и получаемой при этом точностью. Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта первого порядка точности. Формула для вычисления методом Эйлера:
(5.3)
Следовательно:
Метод Эйлера является наиболее простым, но и наименее точным. Он применяется для получения оценочных решений на небольшом интервале [x0; xn].
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности.Смещение из точки [xk; yk] в точку происходит не сразу, а через промежуточные точки. На практике наибольшее распространение получил метод 4-го порядка точности. Значение функции в i+1-й точке вычисляется следующим образом:
|
|
(5.4)
Метод Рунге-Кутта обладает достаточно высокой точностью, легко программируется, так как для вычисления нужно знать лишь одно значение yi. С помощью этого метода можно начинать решение ДУ. Величина шага изменения аргумента х легко меняется на любом этапе вычисления.
Недостатки:
1) необходимость четыре раза вычислять значение функции на каждом шаге;
2) отсутствие легко определяемой оценки ошибки метода.
Для оценки правильности шага рассчитывают: , которое должно быть меньше либо равно 0,05. В противном случае шаг следует уменьшить в два раза, провести вычисления и снова оценить δ.
Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности, сопоставимый со значением шага, взятым в 4-й степени. Для оценки погрешности метода пользуются формулой Рунге:
Практикум
Цель работы: изучить наиболее распространенные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений; научиться создавать приложения для решения обыкновенных дифференциальных уравнений средствами Delphi; изучить основные средства, предоставляемые пакетом MathCad для решения дифференциальных уравнений.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 354; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!