Вычисления без точного учета погрешностей

⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 24

При массовых вычислениях часто не учитывают погрешность каждого отдельного результата и судят о погрешности приближенного значения величины (числа), указывая количество верных значащих цифр в этом числе. Если число А имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность определяется следующим неравенством:

где z – первая значащая цифра числа А. У числа А с относительной погрешностью δА верны n значащих цифр, где n – наибольшее число, удовлетворяющее следующему неравенству:

Производя различные математические действия с приближенными числами, пользуются следующими правилами подсчета значащих цифр. При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя иногда возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.

4. Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила; в окончательном результате эта "запасная цифра" отбрасывается.

5. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков или значащих цифр, чем другие, их предварительно следует округлить, сохраняя только одну лишнюю цифру.

6. Если некоторые данные (обычно табличные) можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с n цифрами эти данные следует брать с n+1 цифрами.

Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Если отбрасываемая часть состоит только из одной цифры 5, то округление выполняется так, чтобы последняя цифра оставалась четной. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления не должна превышать половины единицы того разряда, до которого предполагается делать округление.

ПРАВИЛА СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ

Результаты всякого эксперимента, в т.ч. и лабораторной работы, должны быть зарегистрированы в лабораторном журнале (тетради); при этом необходимо стремиться к сочетанию краткости записей с их исчерпывающей полнотой. Результаты измерений и расчетов целесообразно представлять в виде таблиц и графиков.

Таблица обязательно должна иметь название. Экспериментальные данные последовательно заносятся в соответствующие столбцы таблицы; в верхней части столбца обязательно указывается наименование и единица измерения приведенной величины. При занесении в таблицу численных величин вида y = x·10ⁿ в строках таблицы проставляется только величина x, а обозначение физической величины записывается в верхней части столбца как y = x·10^-n (аналогичным образом подобные величины наносят и на оси координат графиков). Каждое число в таблице должно содержать не больше и не меньше значащих цифр, чем позволяет точность экспериментальных данных.

Графическое изображение результатов эксперимента и расчетов позволяет более наглядно представить характер изменения изучаемой величины – наличие экстремумов, точек перегиба, предельных значений, периодичность и т.д.; с помощью графиков можно производить дифференцирование и интегрирование, даже не зная аналитического выражения графически представленной зависимости. При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами.

График строится только на миллиметровой бумаге. Значение независимой переменной (аргумента) откладывают по оси абсцисс, значение функции – по оси ординат графика. У осей координат графика обязательно должно иметься обозначение – название и единица измерения откладываемой по данной оси величины. Следует стремиться к тому, чтобы график зависимости располагался в первой четверти декартовой системы координат; если величины функции Y или (и) аргумента X отрицательны, оси координат при необходимости обозначают как -Y или -X. Наносимые на график экспериментальные точки должны быть хорошо заметны.

Большое значение при построении графиков имеет выбор масштаба; для удобства отсчета масштаб необходимо выбирать так, чтобы 1 см на графике соответствовал следующим значащим цифрам откладываемой на оси величины: 1, 2 или 5; при этом масштаб должен позволять учесть все значащие цифры измеренных величин. При построении графика необходимо стремиться к возможно более полному использованию его площади, поэтому пересечение оси абсцисс и оси ординат может иметь любые координаты (рис.1). С целью подчеркнуть характерные особенности изменения функции (наличие экстремумов, точек перегиба и т.д.) иногда оказывается необходимым относительно увеличить масштаб функции и уменьшить масштаб аргумента.

Рисунок 1. Построение графика: A - неправильно, B - правильно.

Кривая, выражающая зависимость y = f (x), должна быть плавной, хотя возможны и скачки, отвечающие нарушению непрерывности функции. В последнем случае необходимо достаточное число экспериментальных точек, подтверждающих наличие скачка. Линия графика зависимости (прямая или кривая) должна проходить насколько возможно близко к экспериментальным точкам, однако не обязательно через каждую из них; число точек по обе стороны линии должно быть приблизительно одинаковым.

По имеющемуся графику зависимости с помощью графической экстраполяции или интерполяции можно найти значения функции и аргумента, которые не определялись экспериментально. Интерполяцией называют определение значения функции, находящегося между ее измеренными значениями; экстраполяцией называют определение значения функции, отвечающего некоторому значению аргумента, лежащему вне пределов экспериментальных данных. При выполнении графической экстраполяции предполагается, что за пределами исследованного интервала функциональная зависимость имеет такой же вид, как и внутри его. Точность экстраполяции, особенно при значительном ее интервале, обычно невелика.

Словарь

1. Адсорбция - концентрирование вещества (адсорбата) из объема фазы на поверхности раздела между ними: на поверхности твердого тела (адсорбата) или на поверхности жидкости.

2. Буферный раствор - поддерживает определенное значение рН-раствора. Это значение зависит от соотношения концентрации компонентов раствора, находящихся в химическом равновесии, и слабо меняется при концентрировании, разбавлении, введение других реагентов. Содержит смесь слабого электролита и его соли.

3. Вискозиметр - прибор для относительного измерения вязкости путем сравнения скорости истечения исследуемого раствора и чистого растворителя, по которому калибруют вискозиметр. Измерения проводят в условиях ламинарного течения, когда слои в потоке не перемешиваются.

4. Вязкость - свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой при сдвиге, растяжении и др. видах деформации.

5. Гидролиз - реакция воды с солями, в результате которой образуется слабый электролит.

6. Деполяризация процесса коррозии - изменение величины электродной поляризации при введении в электрохимическую систему вещества-деполяризатора, способного электрохимически окисляться или восстанавливаться

7. Диффузия - перенос вещества, обусловленный выравниванием его концентрации в первоначально неоднородной системе. Происходит вследствие теплового движения атомов или молекул.

8. Золи - коллоидные системы с жидкой дисперсионной средой.

9. Индикаторный электрод для потенциометрических измерений. Его потенциал зависит от концентрации определяемого иона и измеряется относительно электрода сравнения. Обычно в качестве индикаторного электрода применяют стеклянный электрод.

10. Ион - атом, или группа атомов, электрический заряд которых отличен от нуля. Атом, содержащий избыточные электроны на внешнем электронном уровне, носит название «анион». Атом, потерявший электрон, имеет положительный заряд и называется «катион».

11. Иономер - электронный прибор, являющийся усилителем разности электродных потенциалов, служит для измерения концентрации ионов в растворе.

12. Коагуляция - слипание частиц дисперсной фазы в коллоидных растворах. Обусловлена агрегативной неустойчивостью системы.

13. Коллоидные системы - дисперсные системы с частицами дисперсной фазы от 10^-5 до 10^-7см.

14. Конденсация - в коллоидной химии это объединение ионов или молекул в частицу, обладающую всеми признаками твердого тела.

15. Кондуктометр - прибор для измерения электрической проводимости растворов электролитов.

16. Концентрация - относительное количество данного компонента в растворе.

17. Коррозия - физико-химическое взаимодействие металла со средой, ведущее к разрушению металла.

18. Кривая титрования - график зависимости величины рН раствора от объема добавленного титранта строго определенной концентрации. Точка эквивалентности лежит в пределах участка резкого подъема кривой - скачка титрования.

19. Криоскопия - метод определения молекулярной массы вещества путем измерения его температуры кристаллизации.

20. Мицелла - сольватированные частицы дисперсной фазы золя. Состоит из ядра, окруженного слоем молекул дисперсной среды и стабилизатора.

21. Поверхностно-активные вещества (ПАВ) - вещества, которые концентрируются на поверхности раздела фаз, вызывая снижение поверхностного (межфазного) натяжения. Обычно это органические соединения, молекулы которых имеют дифильное строение, т.е. содержат гидрофильные и гидрофобные атомные группы.

22. Электродный потенциал - скачек потенциала на границе металл - раствор.

23. Раствор - гомогенная, однородная, термодинамически устойчивая система, состоящая из двух и более компонентов или продуктов их взаимодействия.

24. Седиментация - направленное движение частиц в поле действия гравитационных сил, оседание частиц твердой фазы суспензии на дно сосуда.

25. Сталагмометр - прибор для сравнительного определения поверхностного натяжения жидкости подсчетом числа капель вытекающего из прибора раствора определенного объема.

26. Титрование - метод количественного анализа, основанный на измерении количества реагентов, необходимого для взаимодействия с определяемым

компонентом в растворе. Раствор с точно известной концентрацией реагента

(титрант) постепенно добавляют к анализируемой смеси и контролируют объем

вводимого титранта. Для вычисления массы определяемого компонента определяют объем титранта, соответствующего точке эквивалентности на кривой титрования, и рассчитывают искомую концентрацию при помощи закона эквивалентов.

27. Точка эквивалентности - объем титранта, содержащий количество реагента, эквивалентное количеству определяемого компонента в соответствии со

стехиометрией реакций между ними при условии, что эта реакция практически

необратима.

28. Фаза - совокупность частей системы, тождественных по химическому составу и термодинамическим свойствам, и находящихся между собой в термодинамическом равновесии, Гомогенная, однофазная система, не содержащая внутренних поверхностей раздела.

29. Фотоколориметр - прибор для выполнения количественного и качественного анализа по интенсивности, видимого излучения, выходящего кюветы основанного на избирательном поглощении электромагнитного излучения молекулами определяемого компонента или его соединений с соответствующим реагентом.

30. Электродвижущая сила (ЭДС) - величина, характеризующая источник энергии в электрической цепи, необходимый для поддержания в ней электрического тока. Полная ЭДС в цепи постоянного тока равна разности потенциалов на концах разомкнутой цепи. Измеряется в вольтах.

31. Электрод - в электрохимии - электронопроводящие фазы (металлы или

полупроводники), контактирующие с ионным проводником (электролитом). На

межфазной границе, разделяющей обе фазы, возникает разность потенциалов.

32. Электрод сравнения применяют для измерения электродных потенциалов. С его мощью измеряют разность потенциалов между исследуемым электродом и стандартным электродом сравнения. В качестве потенциала электрода сравнения принимают разность потенциалов между электродом и нормальным водородным электродом, потенциал которого условно принят равным нулю. Наиболее часто применяют хлорсеребряный электрод сравнения.

33. Электрофорез - направленное движение заряженных микрочастиц (мицелл) в жидкой среде под действием внешнего электрического поля.

34. Электрохимическая ячейка - устройство для преобразования электрохимических процессов в электрические сигналы при поляризации электродов ячейки. Ячейки применяют при экспериментальном исследовании кинетики электродных процессов.

35. Эмульсия - дисперсная система с жидкой дисперсионной средой и жидкой дисперсной фазой.

Приложения

Приложение А

Рисунок А.1 - Зависимость поверхностного натяжения воды от температуры

Приложение Б

Основные свойства логарифмов

Логарифмом числа N по основанию α называется показатель степени x, в которую нужно возвести α, чтобы получилось число N.

Обозначение: logα N = x. Запись logα N = x совершенно равнозначна записи

Примеры: log 28 = 3, так как log1/216= - 4, так как ; log1/2( )=3, так как = .

Из определения логарифма вытекает следующее тождество:

Примеры: , т.е. =25;

Числа α (основание логарифма) и N (число) можно брать целыми и дробными (см. примеры), но непременно положительными, если мы хотим, чтобы логарифмы были действительными числами.

Сами же логарифмы могут быть и отрицательны; отрицательные логарифмы столь же важны на практике, как положительные.

Если за основание логарифмов взято число, большее единицы, (например, число 10), то большее число имеет больший логарифм. Логарифмы чисел, больших единицы, положительны, меньших единицы – отрицательны. Логарифм единицы при любом основании равен нулю. Логарифм числа, равного основанию, всегда есть 1 (в десятичных логарифмах lg10=1).

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

log(ab) = log a+log b.

Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делится:

log =log a – log b.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

log = m loga.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня:

log .

(следствие предыдущего свойства, ибо = ).

Отыскание логарифма по числу

Логарифма целых степеней числа 10 отыскиваются без таблиц. Для отыскания логарифмов остальных чисел поступаем так:

а) Отыскание характеристики. Для чисел, больших единицы, характеристика равна на единицу уменьшенному числу цифр целой части.

Примеры: lg35,28=1,…; lg3,528=0,…; lg60 100=4,…

(точки после запятой означают, что здесь должны стоять цифры мантиссы.)

Для чисел, меньших единицы, характеристика искусственной формы логарифма равна числу нулей перед значащими цифрами числа (считая и нуль целых).

Примеры: lg 0,00635=3,…; lg0,1002=1,…; lg0,06004=2,…

б) Отыскание мантиссы. При отыскании мантиссы десятичной дроби, правильной или неправильной, отбрасываем запятую и ищем в таблице мантиссу получившегося целого числа можно отбросить все нули в конце его (если таковые имеются). Например, мантисса числа 20,73 равна мантиссе числа 2073; мантисса числа 6 004 800 равна мантиссе числа 60 048.

При пользовании четырехзначными таблицами логарифмов у полученного целого числа оставляем только четыре первых знака; при пользовании пятизначными таблицами – первые пять. Остальные отбрасываются, так как они не повлияют (или почти не повлияют) на содержащиеся в таблице разряды мантиссы.

По четырехзначной таблице можно найти непосредственно мантиссу трехзначного числа; по пятизначной – мантиссу четырехзначного числа. Мантиссы четырехзначных (пятизначных) чисел находятся прибавлением поправки (см. ниже приводимые примеры).

Четырехзначная таблица

Пример 1. Найти логарифм числа 45,8. Находим (без таблицы) характеристику: 1,…Отбрасывая запятую, имеем целое число N = 458. Берем первые две его цифры (45). В строке 45 отыскиваем число, стоящее в столбе 8. Находим 6609. Это – мантисса. Имеет lg45,8 = 1,6609.

Пример 2. Найти lg 0,02647. Находим (без таблицы) характеристику: 2,… Отбрасываем запятую. Получаем число 2647. Берем первые его две цифры (26); в строке 26 отыскиваем число, стоящее в столбце 4 (третья цифра данного числа). Находим 4216. Это – мантисса lg264. Находим поправку, соответствующую последней цифре 7 данного числа. Она помещается в той же строке 26, в столбце 7 раздела «поправки». Находим 11. Прибавляем поправку к ранее найденной мантиссе. Получаем 4216 +11=4227. Это – мантисса данного числа. Имеет lg 0,02647=2,4227.

Запись:

Замечание. Поправки рассчитаны с помощью интерполяции, применение интерполяции облегчает работу вычисления. Из таблицы видно, что мантисса числа 2640 меньше мантиссы числа 2650 на 4232 – 4216 = 16 (десятичных долей). Разности чисел 10 отвечает разность мантисс 16. Порцинальный расчет дает: х:16=7:10=0,7; х=16·0,7=11.

Пятизначная таблица

Пример 1. Найти lg0,02647. Находим без таблиц характеристику lg0,02647=2,… отбрасывая запятую, получаем число 2647. Открываем ту страницу, где есть строки 264. В строке 264 отыскиваем число, стоящее в столбце 7. Находим 275. Это – три последние цифры мантиссы. Первые две (42) находим в начале строки. Вся мантисса 42275; lg0,02647 = 2,42275.

Для большинства строк вначале первые две цифры не проставлены. Тогда нужно взять первые две цифры либо из нижней (если перед последними тремя цифрами мантиссы стоит звездочка), либо (если звездочки нет) из ближайшей верхней.

Пример 2. Найти lg 6764. Характеристика есть 3. В строке 676 таблицы логарифмов отыскиваем в столбце 4 три последние цифры мантиссы 020. Они снабжены звездочкой. Поэтому первые две цифры (83) берем из нижележащей строки 677. Вся мантисса 83020; lg 6764 = 3,83020.

Пример 3. Найти lg 6,6094. Находим характеристику: lg 6,6094 = 0,… Отбрасываем запятую, получаем 66094. В строке 660 (соответствующей первым трем цифрам) отыскиваем в столбце 9 (четвертая цифра) число 014 со звездочкой слева. Это – последние три цифры мантиссы числа 6609. Первые две (82) находим в следующей строке. Мантисса lg6609 есть 82014. Находим поправку, соответствующую последней цифре 4 данного числа. В столбце РР помещена табличка с надписью 6 (d=6 есть разность между мантиссами чисел 6609 и 6610). В левой части этой таблички отыскиваем число 4. Против него стоит 2,4. Отбрасывая десятые доли, округляем это число до 2. Это – поправка. Прибавляя ее ранее найденной мантиссе, получаем 82014 + 2 = 82016. lg 6,6094 = 0,82016.

Запись:

Приложение В

Таблица В.1 - МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ.

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374	4 4 4 4	9 9 8 8	13 13 12 12	17 17 16 16	22 21 21 20	26 25 25 24	30 30 29 28	35 34 33 32	39 38 37 36
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755	4 4 4	8 8 7	12 11 11	16 15 15	20 19 18	24 23 22	27 27 26	31 30 29	35 34 33
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106	3 4 3	7 7 7	11 11 10	14 14 14	18 17 17	21 21 20	25 24 24	28 28 27	32 31 30
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430	3 3 3	7 6 6	10 10 9	13 13 13	17 16 16	20 19 19	23 23 22	27 26 25	30 29 28
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732	3 3 3	6 6 6	9 9 9	13 12 I1	16 15 14	19 18 17	22 21 20	25 24 23	28 27 26
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014	3 3	6 5	9 8	11 11	14 14	17 16	20 19	23 22	26 25
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279	3 4	5 5	8 8	11 10	1З 13	16 15	19 18	21 20	24 23
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2480	2504	2529	3 2	5 5	8 7	10 10	13 12	15 15	18 17	20 19	23 22
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765	2 2	5 5	7 7	9 9	12 11	14 13	16 16	19 18	21 20
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989	2 2	4 4	7 6	9 8	11 11	13 13	16 15	18 17	20 19
20	3010	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201	2 2	4 4	6 6	8 8	11 10	13 12	15 14	17 17	19 19
21 22 23 24	3222 3424 3617 3802	3243 3444 3636 3820	3263 3464 3655 3838	3284 3483 3674 3856	3304 3502 3692 3874	3324 3522 3711 3892	3345 3541 3729 3909	3365 3560 3747 3927	3385 3579 3766 3945	3404 3598 3784 3962	2 2 2 2	4 4 4 4	6 6 6 5	8 8 7 7	10 10 9 9	12 12 11 11	14 14 13 12	16 15 15 14	18 17 17 16
25 26 27 28 29	3979 4150 4314 4472 4624	3997 4166 4330 4487 4639	4014 4183 4346 4502 4654	4031 4200 4362 4518 4669	4048 4216 4378 4533 4683	4065 4232 4393 4548 4698	4082 4249 4409 4564 4713	4099 4265 4425 4579 4728	4116 4281 4440 4594 4742	4133 4298 4456 4609 4757	2 2 2 2 1	3 3 3 3 3	5 5 5 5 4	7 7 6 6 6	9 8 8 8 7	10 10 9 9 9	12 11 11 11 10	14 13 13 12 12	15 15 14 14 13
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Таблица В.2 - МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ.

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3		4	5	6	7	8	9
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4Ј86	4900	1	3	4	6		7	9	10	11	13
31	4914	4928	4942	4955	4969	4983	4997	5011	5024	5038	1	3	4	6		7	8	10	11	12
32	5051	5065	5079	5092	5105	5119	5132	5145	5159	5172	1	3	4	5		7	8	9	11	12
33	5185	5198	5211	5224	5237	5250	5263	5276	5289	5302	1	3	4	5		6	8 12	9	10	12
34	5315	5328	5340	5353	5366	5378	5391	5403	5416	5428	I	3	4	5		6	8	9	10	11
35	5441	5453	5465	5478	5490	5502	5514	5527	5539	5551	1	2	4	5		6	7	9	10	11
36	5563	5575	5587	5599	5611	5623	5635	5647	5658	5670	1	2	4	5		6	7	8	10	11
37	5682	5694	5705	5717	5729	5740	5752	5763	5775	5786	1	2	3	5		6	7	8	9	10
38	5798	5809	5821	5832	5843	5855	5866	5877	5888	5899	1	2	3	5		6	7	8	9	10
39	5911	5922	5933	5944	5955	5966	5977	5968	59S9	6010	1	2	3	4		5	7	8	9	10
40	6021	6031	6042	6053	6064	6075	6085	6096	6107	6117	1	2	3	4		5	6	8	9	10
41	6128	6138	6149	6160	6170	6180	6191	6201	6212	6222	1	2	3	4		5	6	7	8	9
42	0232	6243	6253	6263	6274	6284	6294	6304	6314	6325	1	3	3	4		5	6	7	8	9
43	6335	6345	6355	6365	6375	6385	6395	6405	6415	6425	1	8	3	4		5	6	7	8	9
44	6435	6444	6454	6464	6474	6484	6493	6503	6513	6522	1	2	3	4		5	6	7	8	9
45	6532	6542	6551	6561	6571	6580	6590	6599	6609	6618	1	2	3	4		5	6	7	8	9
46	6628	6637	6646	6656	6665	6675	6684	6693	6702	6712	1	2	3	4		5	6	7	7	8
47	6721	6730	6739	6749	6758	6767	6776	6785	6794	6803	1	2	3	4		5	5	6	7	8
48	6812	6821	6830	6839	6848	6857	6866	6875	6884	6893	1	2	3	4		4	5	6	7	8
49	6902	6911	6920	6928	6937	6946	6955	6964	6972	6981	1	2	3	4		4	5	6	7	8
50	6990	6998	7007	7016	7024	7033	7042	7050	7059	7067	1	2	3	3		4	5	6	7	8
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152	1	2	3	3		4	5	6	7	8
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235	1	2	2	3		4	5	6	7	7
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316	1	2	2	3		4	5	6	6	7
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7396	1	2	2	3		4	5	6	6	7
55	7404	7412	7419	7427	7435	7443	7451	7459	7466	7474	1	2	2	3		4	5	5	6	7
56	7482	7490	7497	7505	7513	7520	7528	7536	7543	7551	1	2	2	3		4	5	5	6	7
57	7559	7566	7574	7582	7589	7597	7604	7612	7619	7627	1	2	2	3		4	5	5	6	7
58	7634	7642	7649	7657	7664	7672	7679	7686	7694	7701	1	1	2	3		4	4	5	6	7
59	7709	7716	7723	7731	7738	7745	7752	7760	7767	7774	1	1	2	3		4	4	5	6	7
60	7782	7769	7796	7803	7810	7818	7825	7832	7839	7846	1	1	2	3		4	4	5	6	6
61	7853	7860	7868	7875	7882	7889	7896	7903	7910	7917	1	1	2	3		4	4	5	6	6
62	7924	7931	7938	7945	7952	7959	7966	7973	7980	7987	1	1	2	3		3	4	5	6	6
63	7993	80С0	8007	8014	8021	8028	8035	8041	8048	8055	1	1	2	3		3	4	5	5	6
64	8062	8069	8075	8082	8089	8096	8102	8109	8116	8122	1	1	1	3		3	4	5	5	6
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4		5	6	7	8	9

Таблица В.3 - МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ.


N	0	1		2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
65	8129	8136		8142	8149	8156	8162	8169	8176	8182	8189	1	1	2	3	3	4	5	5	6
66	8195	6202		8209 8215	8215	8222	8228	8235	8241	8248	8254	1	1	2	3	3	4	5	5	6
67	8201	8267		8274	8280	8287	8293	8290	8306	8312	8319	1	1	2	3	3	4	5	5	6
68	8386	8331		8338	8344	8351	8357	8363	8370	8376	8382	1	1	2	3	3	4	4	5	6
69	8388	8395		8401	8407	8414	8420	8426	8432	8439	8445	1	I	2	2	3	4	4	5	6
70	8451	8457		8463	8470	8476	8482	8488	8494	8500	8506	1	1	2	2	3	4	4	5	6
71	8513	8519		8525	8531	8537	8543	8549	8555	8561	8567	1	1	2	2	3	4	4	5	5
72	8573	8579		8585	8591	8597	8603	8609	8615	8021	8627	1	1	2	2	3	4	4	6	5
73	8633	8639		8015	8651	8657	8663	8669	8675	8081	8686	1	1	2	2	3	4	4	5	5
74	8092	8698		8704	8710	8716	8722	8727	8733	8739	8745	1	1	2	2	3	4	4	6	5
75	8751	8756		8702	8768	8774	8779	8785	8791	8797	8802	1	1	2	2	3	3	4	5	5
76	8808	8814		8820	8825	8831	8837	8642	8848	8854	8859	1	1	2	2	3	3	4	6	5
77	8865	8871		8876	8882	8887	8893	8899	6904	8910	8915	1	1	2	2	3	3	4	4	5
78	8921	8927		8932	8938	8943	8949	8954	8960	8965	8971	1	1	2	2	3	3	4	4	5
79	8976	8982		8987	8993	8993	9004	9009	9015	9020	9025	1	1	2	2	3	3	4	4	5
80	9031	9036		9042	9047	9053	9058	9063	9069	9074	9079	1	1	2	2	3	3	4	4	5
81	9085	9090		9095	9101	9106	9112	9117	9122	9128	9133	1	1	2	2	3	3	4	4	5
82	9138	9143		9149	9154	9159	9165	9170	9175	9180	9186	1	1	2	2	3	3	4	4	5
83	9191	9196		9201	9206	9212	9217	9222	9227	9232	9238	1	1	2	2	3	3	4	4	5
84	9243	9248		9253	9258	9263	9269	9274	9279	9284	9289	1	1	2	2	3	3	4	4	5
85	9294	9299		9304	9309	9315	9320	9325	9330	9335	9340	1	1	2	2	3	3	4	4	5
86	9345	9350		9355	9360	9365	9370	9375	9380	9385	9390	1	1	2	2	3	3	4	4	5
87	9.195	9100		9405	9110	9415	9420	9425	9430	9435	9440	0	1	1	2	2	3	3	4	4
88	9445	9150		9155	9460	9465	9469	9474	9479	9484	9489	0	1	1	2	2	3	3	4	4
80	9494	9499		9504	9509	9513	9518	9523	9528	9533	9538	0	1	1	2	2	3	3	4	4
90	9542	9547		9552	9557	9562	9566	9571	9576	9581	9586	0	1	1	2	2	3	3	4	4
91	9590	9595		9000	9605	9609	9614	9619	9624	9628	9633	0	1	1	2	2	3	3	4	4
92	9638	9643		9647	9652 9657	9657	9661	9666	9671	9675	9680	0	1	1	2	2	3	3	4	4
93	9585	9689		9094	9699	9703	9708	9713	9717 97631	9722 9768	9727	0	1	1	2	2	3	3	4		4
94	9731	9736		9741	9745	9750	9754	9759	9763	9722 9768	9773	0	1	1	2	2	3	3	4	4
95	9777	9782		9786	9791	9795	9800	9805	9809	9814	9818	0	1	1	2	2	3	3	4	4
96	9823	9827		9832	9836	9841	9845	98S0	9854	9859	9863	0	1	1	2	2	3	3	4	4
97	9868	9872		9877	9881	9886	9890	9894	9899	9903	9908	0	1	1	2	2	3	3	4	4
98	9912	9917		9921	9926	9930	9934	9939	9943	9948	9952	0	1	1	2	2	3	3	4	4
99	9956	996l	9965		9969	9974	9978	9983	9987	9991	9996	0	1	1	2	2	3	3	3	4
N	0	1		2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

n=3.1415926..., lg = 0,4971, 1/π =0,3183098 ..., lg1/π =1,5029. =1,4142135…, lg =0,1505, = 1,7320508..., lg =0,2386.

Таблица В.4 - ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 10* (ДЕСЯТИЧНЫЕ АНТИЛОГАРИФМЫ).

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 2078; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 2324

Мы поможем в написании ваших работ!

© 2014-2024 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.202)