УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

    1. Каноническое уравнение эллипса.

   Определение 1. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, бóльшая, чем расстояние между фокусами.

Рис. 1

    Составим уравнение эллипса с фокусами в данных точках F₁ и F₂. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F₁F₂ пополам (рис.1).

    Обозначив F₁F₂=2c, получим F₁ (c; 0) и F₂ (–с; 0). Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса.

    Определение 2. Расстояния r₁=F₁M  и r₂=F₂M  называются фокальными радиусами точки М.

    Положим

;                                             (1)

тогда согласно определению эллипса 2а – величина постоянная, причем 2а>2с, т.е. а>с.

    По формуле расстояния между двумя точками находим

и .                       (2)

Подставив найденные значения r₁ и r₂ в равенство (1), получим уравнение эллипса

                               (3)

Преобразуем уравнение (3) следующим образом:

т. е.

Так как а > с, то а²–с²>0. Положим

                                                     (4)

тогда последнее уравнение примет вид

или

                                                (5)

Так как координаты х и у любой точки М эллипса удовлетворяют                    уравнению (3), то они удовлетворяют и уравнению (5).

    Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки М(х; у) удовлетворяют уравнению (5), то она принадлежит эллипсу.

    Пусть М (х; у) – произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5) следует

                                             (6)

то  откуда

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

и

Но так как а > с > 0 и ,  то

и ,

откуда

     и                                                              (7)

и, следовательно, , т. е., точка М (х; у) действительно принадлежит эллипсу.

   Определение 3. Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса.

    2. Исследование формы эллипса по его уравнению.

Определим форму эллипса по его каноническому урав­нению (5).

    1) Координаты точки О (0; 0) не удовлетворяют уравнению (5), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением, не проходит через начало координат.

    2) Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (5) у=0, найдем х = ±а. Следовательно, эллипс пересекает ось Ох в точках A₁ (a; 0) и А₂ (–а; 0). Положив в уравнении (5) х = 0, найдем точки пересечения эллипса с осью Оу: В₁ (0; b) и В₂ (0; –b) (рис. 2).

    3) Так как в уравнение (5) переменные х и у входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

    4) Определим область изменения переменных х и у.

Выше мы уже показали, что

 

, т.е. .

 

Переписав уравнение эллипса (5) в виде

, получим , откуда

, или .

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х = а, х = – а, у = b и у = – b (см. рис. 2).

Рис. 2

 

    5) Переписав (5) соответственно в виде

 и ,

мы видим, что при возрастании | х |от 0 до а величина | у |убывает от b до 0, а при возрастании | у | от 0 до b величина | х| убывает от а до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 3.

Определение 4. Точки А₁, А₂, B₁, B₂ пересечения эллипса с осями координат назы­ваются вершинами эллипса. Из равенства (4) следует, что а > b.

Рис. 3

Определение 5. Отрезок А₁А₂ (А₁А_г=2а, , ) называется большой осьюэллипса, а отрезок В₁В₂ (В₁B₂=2b) – малой осью.Оси A₁A₂ и В₁В₂ являются осями симметрииэллипса, а точка О – центром симметрии (или просто центром) эллипса.

3. Другие сведения об эллипсе.Вп. 2 мы установили, что в каноническом уравнении эллипса а > b. Если же а < b, то уравнение (5) не является каноническим уравнением эллипса. Однако и в этом случае уравнение (5)

определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁ (0; с) и F₂ (0; –с), где (рис. 4).

Рис. 4

 

Определение 6. Эксцентриситетомэллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой ε.

Если a > b,то по определению

                                  (8)

При а < b имеем

                                 (9)

    Из формул (8) и (9) следует 0 ≤ ε ≤ 1. При этом с увеличением разности между полуосями а и b увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между а и b уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю.

Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большой оси; чем меньше эксцентриситет, тем более эллипс по форме ближе к окружности.В частности, если b = a, то ε = 0, и уравнение эллипса примет вид х² + у² = а², которое определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а, следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Рис. 5

 

    Из рис. 5, на котором изображены эллипсы  (ε = 4/5),  (ε = 3/5) и окружность х² + у² = 25 (ε = 0), хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета.

  Определение 7.Прямые, параллельные малой оси эллипса, находящиеся на расстоянии  от нее, называются директрисами эллипса.

       Тогда уравнения директрис эллипса имеют вид:

                           , .

В заключение поясним, как можно построить эллипс

.

Для этого на осях координат строим вершины эллипса А₁ (а; 0), А₂ (–а; 0), В₁ (0; b) и В₂ (0; – b). Затем из вершины B_t (можно из В₂) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки F₁ и F₂ (рис. 6). Это будут фокусы эллипса, потому что а² – b² = с². Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна 2а, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Рис. 6

 

В ряде задач математики и механики приходится иметь дело с эллипсом, центр которого находится не в начале координат, а в точке О' (х₀; у₀). Если оси эллипса параллельны осям координат, то уравнение эллипса имеет вид

.                                   (10)

Это уравнение эллипса со смещенным центром.

 

 «Гипербола»

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 398; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!