Заданными в координатной форме
1) Сложение векторов: 
аналогично, в пространстве 
2) Умножение вектора на число:
аналогично, в пространстве 
3) Модуль (абсолютная величина) вектора 
аналогично, в пространстве 
4) Скалярное произведение векторов:
- число,
аналогично, в пространстве
- число.
Если векторы 
и 
образуют угол 
, то скалярное произведение этих векторов можно найти по формуле:
|
Но эта формула при непосредственном применении сложна, поэтому, после некоторых преобразований, она используется для нахождения угла между векторами:
,
аналогично, в пространстве
5) Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов 
называется третий вектор 
, длина которого равна
(1)
Вектор перпендикулярен векторам 
(следовательно, перпендикулярен плоскости этих векторов) и направлен так, что тройка векторов – правая, т.е. из конца вектора видно, что поворот вектора 
до совмещения с вектором 
по кратчайшему пути происходит против часовой стрелки.
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется на противоположный.
2. Скалярный множитель выносится за знак векторного произведения.
3. Векторное произведение равно рулевому вектору, если один из векторов нулевой или векторы коллинеарные.
Векторное произведение вычисляется по формуле:
|
|
|
(2)
Из формулы (1) следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, равна половине площади параллелограмма.
6) Смешанное произведение векторов
Если два вектора перемножаются по векторному произведению и результат скалярно умножается на третий вектор, то такое произведение векторов называется смешанным.
Свойства смешанного произведения
1. При круговой перестановке сомножителей произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение не изменится, если поменять местами знаки векторного и скалярного произведений:
Это позволяет записывать смешанное произведение векторов вообще без знаков умножения: 
В дальнейшем смешанное произведение трех векторов будет записываться без знаков умножения.
3. При перестановке двух сомножителей знак произведения меняется на противоположный.
4. Смешанное произведение равно нулю, если:
а) один из векторов нулевой;
б) два вектора коллинеарные;
в) три вектора компланарные.
Смешанное произведение вычисляется как определитель, составленный из координат векторов
. (3)
Геометрический смысл смешанного произведения состоит в том, что его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на рёбрах.
|
|
|
. (4)
При этом, если тройка векторов правая, то 
если тройка векторов левая, то 
.
Если на тех же векторах строить не параллелепипед, а треугольную пирамиду – тетраэдр, то его объем вычисляется по формуле
(5)
7)Из равенства, позволяющего вычислить скалярное произведение векторов, образующих некоторый угол, следует:
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!