Условия параллельности и перпендикулярности прямых
А) Прямые и
(1) параллельны тогда и только тогда, когда ;
(2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
В) Прямые и
(1) параллельны тогда и только тогда, когда ;
(2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
v Угол между прямыми
А) Угол между прямыми и находят по формуле
.
Б) Угол между прямыми и находят по формуле
.
v Пересечение двух прямых
Координаты точки пересечения прямых и должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. могут быть найдены из системы
Если прямые не параллельны, т.е. , то решение этой системы дает единственную точку пересечения прямых.
v Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой находят по формуле
v Расстояние между точками
Расстояние между точками находят по формуле:
v Площадь треугольника
Площадь треугольника с вершинами , , находится по формуле
.
Пример.
Дано: | |
Найти: 1) уравнение стороны АВ. 2) уравнение медианы ВD. 3) уравнение высоты СК. 4) длину стороны АС и высоты СК. 5) косинус угла ABC. | Решение: 1) 1) Составим уравнение стороны АВ, как уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки А(4;-6) и В(-5;7). |
2) Найдем координаты точки D – основания медианы, как координаты середины отрезка АС по формулам:
.
Составим уравнение медианы BD, как уравнение прямой, проходящей через две данные точки: В(-5;7) , D(1; -4,5)
|
|
3) Cоставим уравнение высоты СК как уравнение прямой, проходящей через данную точку С(-2;-3) перпендикулярно нормальному вектору .
.
Найдем координаты нормального вектора:
, тогда
4) Найдем длину стороны АС:
Если даны точки ,
то расстояние между ними можно найти по формуле:
Найдем высоту СК, как расстояние от С(-2;-3) до прямой АВ , уравнение которой имеет вид: 13х + 9у + 2 = 0 по формуле
.
5) Найдем косинус угла АВС, как косинус угла между векторами по формуле (хотя можно применить и формулу косинуса угла между прямыми, но для этого придется составлять уравнение еще одной прямой ):
где |
Тогда формула примет вид:
.
Вычисляем координаты векторов:
Теперь можно найти косинус угла АВС:
.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
№1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки:
1) 2)
3) 4)
Привести уравнение к уравнению прямой в общем виде и уравнению прямой с угловым коэффициентом.
№2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку :
|
|
1) параллельно прямой
2) перпендикулярно прямой
№3. Показать, что прямые и параллельны.
№4. Показать, что прямые и перпендикулярны.
№5. Найти угол между прямыми:
1) и ;
2) и .
№6. Найти расстояние от точки до прямой .
№7. Найти площадь треугольника с вершинами в точках .
III.«Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве»
I. Прямая в пространстве
Если прямая в пространстве параллельна некоторому вектору (направляющему) и проходит через точку , то ее уравнения можно получить из условия коллинеарности векторов
и ,
где - произвольная точка:
(*)
Эти уравнения (*) называются каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.
Обозначим через t общее значение отношений канонических уравнений данной прямой:
.
Из получившегося равенства получаем: (**)
Эти уравнения (**) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве, которая проходит через точку параллельно вектору
. Переменную t рассматривают как параметр, который произвольно изменяется в интервале . Координаты точки зависят от параметра t, поэтому при изменении t точка двигается по данной прямой.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 648; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!