Условия параллельности и перпендикулярности прямых



А) Прямые  и

(1) параллельны тогда и только тогда, когда ;

(2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

В) Прямые  и

(1) параллельны тогда и только тогда, когда ;

(2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

 

v Угол между прямыми

А) Угол между прямыми  и  находят по формуле

.

Б) Угол между прямыми  и  находят по формуле

.

 

v Пересечение двух прямых

Координаты точки пересечения прямых  и  должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. могут быть найдены из системы

Если прямые не параллельны, т.е. , то решение этой системы дает единственную точку пересечения прямых.

 

v Расстояние от точки до прямой

    Расстояние от точки  до прямой  находят по формуле

v Расстояние между точками

Расстояние между точками  находят по формуле:

                        

 

v Площадь треугольника

Площадь треугольника с вершинами , ,  находится по формуле

             .

                                            Пример.

Дано:  
Найти: 1) уравнение стороны АВ. 2) уравнение медианы ВD. 3) уравнение высоты СК. 4) длину стороны АС и высоты СК. 5) косинус  угла  ABC. Решение: 1) 1) Составим уравнение стороны АВ, как уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки А(4;-6) и В(-5;7).  

 

2) Найдем координаты точки D – основания медианы, как координаты середины отрезка АС по формулам:

    .

Составим уравнение медианы BD, как уравнение прямой, проходящей через две данные точки:   В(-5;7) , D(1; -4,5)

 

 

                             

 

 

3) Cоставим уравнение высоты СК как уравнение прямой, проходящей через данную точку С(-2;-3) перпендикулярно нормальному вектору .

.

Найдем координаты нормального вектора:

, тогда

 

 

4) Найдем длину стороны АС:        

Если даны точки

то расстояние между ними можно найти по формуле:

 

 

Найдем высоту СК,  как расстояние от С(-2;-3) до прямой АВ , уравнение которой имеет вид: 13х + 9у + 2 = 0 по формуле

 

 

.

 

5) Найдем косинус угла АВС, как косинус угла между векторами по формуле (хотя можно применить и формулу косинуса угла между прямыми, но для этого придется составлять уравнение еще одной прямой ):

 

где

 

Тогда формула примет вид:

.

Вычисляем координаты векторов:

 

 

Теперь можно найти косинус угла АВС:

 

.


 

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

№1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки:

1)    2)

3)    4)

Привести уравнение к уравнению прямой в общем виде и уравнению прямой с угловым коэффициентом.

 

№2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку :

1) параллельно прямой

2) перпендикулярно прямой

 

№3. Показать, что прямые  и  параллельны.

 

№4. Показать, что прямые  и  перпендикулярны.

 

№5. Найти угол между прямыми:

1)  и ;

2)  и .

 

№6. Найти расстояние от точки  до прямой .

 

№7. Найти площадь треугольника с вершинами в точках .


III.«Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве»

 

I. Прямая в пространстве

Если прямая в пространстве параллельна некоторому вектору  (направляющему) и проходит через точку , то ее уравнения можно получить из условия коллинеарности векторов

  и ,

где   - произвольная точка:

(*)

Эти уравнения (*) называются каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.

Обозначим через t общее значение отношений канонических уравнений данной прямой:

.

Из получившегося равенства получаем:  (**)

 

Эти уравнения (**) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве, которая проходит через точку  параллельно вектору

. Переменную t рассматривают как параметр, который произвольно изменяется в интервале . Координаты точки  зависят от параметра t, поэтому при изменении t точка  двигается по данной прямой.


Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 648; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!