Совокупность каких-либо n векторов, взятых из системы векторов ранга n, образующая линейно независимую систему, называется базисом исходной системы векторов
Учитывая это определение, из ранее рассмотренного следует справедливость следующих утверждений:
1. Любая пара неколлинеарных векторов системы векторов на плоскости может быть взята как базис этой системы, т.е., если и - неколлинеарны и взяты как базис этой системы векторов на плоскости, то любой вектор этой системы может быть выражен через выбранный базис равенством: , где - координаты вектора относительно базиса и , т.е.
2. Любая тройка некомпланарных векторов системы векторов в пространстве может быть взята как базис этой системы, т.е., если - некомпланарны и взяты как базис системы векторов в пространстве, то любой вектор этой системы может быть выражен через выбранный базис равенством: , где - координаты вектора относительно базиса , т.е. .
Равенства и называются формулами разложения векторов системы по выбранным базисным векторам.
Выбор базиса дает возможность однозначно поставить в соответствие каждому вектору системы упорядоченный набор чисел – координат вектора в выбранном базисе. И наоборот, каждому упорядоченному набору чисел в некотором базисе однозначно соответствует некоторый вектор.
Замечания: 1. Наиболее рационально выбирать в виде базиса орты и на плоскости и орты в пространстве, т.е., разложение в этих случаях имеет вид:
или
|
|
2. Чтобы проверить линейную независимость векторов ,
надо составить определитель из координат этих векторов и найти его значение. Если векторы линейно независимы и образуют базис. Иначе, эти векторы называют компланарными.
3.Чтобы найти координаты вектора в данном базисе т.е., если выполняется равенство необходимо составить систему уравнений относительно переменных x,y,z:
и решить эту систему уравнений любым из известных методов.
Найденные значения переменных x,y,z есть координаты вектора в базисе
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
№ 1 а) Длина вектора на плоскости находится по одной из формул:
, где .
или , где .
Найти длину вектора:
1) 2) , где .
б) Длина вектора в пространстве находится по одной из формул:
где
или где .
Найти длину вектора:
1) 2) , где .
№ 2 Направляющими косинусами вектора называются числа где
; ; .
Найти длину вектора и его направляющие косинусы.
№ 3 Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
.
Если векторы заданы в координатной форме, то скалярное произведение находят по формуле:
|
|
, если
или , если
Найти скалярное произведение векторов:
1) если , .
2) , если
№ 4 Для нахождения угла между векторами используют одну из формул:
или или
Найти угол между векторами:
1)
2)
3) и где А(6;-2), В(-4;8), С(0;-4), D(6;0).
№ 5 Правило умножения вектора на число:
.
Правило сложения векторов:
Выполнить действия:
где
№ 6 Базисом - мерного пространства называют множество линейно независимых векторов - мерного пространства. Векторы и линейно независимы, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:
Разложить вектор по базису – значит представить этот вектор как линейную комбинацию базисных векторов:
Для нахождения неизвестных чисел необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений и решить ее любым способом.
Проверить, составляют ли векторы и базис в пространстве R3 и найти координаты вектора в этом базисе:
№ 7 Два вектора и или и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.
а) Перпендикулярны ли векторы:
б) При каком х перпендикулярны векторы и ?
№ 8 Два вектора и или и коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. или .
|
|
а) Коллинеарны ли векторы
б) При каком m коллинеарны векторы и ?
II. «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ»
Уравнение кривой линии»
Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.
Пусть на плоскости задана некоторая кривая линия. Координаты х и у точки, лежащей на этой линии, связаны определенным образом. Такая связь аналитически записывается в виде некоторого уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением кривой линии на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Общий вид такого уравнения:
.
Если точка М (х; у) передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты М (х; у) называются текущими координатами.
Установленная связь между линиями и их уравнениями позволяет изучать свойства линий путем анализа уравнений, соответствующих этим линиям. Отсюда и название предмета – аналитическая геометрия.
Уравнение прямой»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение первой степени относительно переменных
|
|
х и у вида
Ах+Ву+С=0
при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.
Виды уравнения прямой
Способ задания прямой | Вид уравнения | Пример |
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом - , где - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox, прямая пересекает ось Oy в точке (0;b) | Дано: . Составить уравнение прямой и построить её. | |
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом , прямая проходит через точку (x0;y0) | ||
3. Уравнение прямой в отрезках – прямая пересекает ось Ox в точке (a, 0) и ось Oy в точке (0;b) | , | |
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки и (несовпадающие) | ||
5. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно направляющему вектору | , | |
6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно нормальному вектору | ||
7.Уравнение прямой, проходящей через начало координат | ||
8.Уравнение прямой, параллельной: оси оси | ||
9.Уравнение прямой, совпадающей: с осью с осью | ||
10. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку | , где - произвольное число, кроме |
I. Прикладные задачи.
v Деление отрезка в заданном отношении.
Точки и являются концами отрезка , а точка Î делит его в отношении , т.е. .Координаты точки находят по формулам: ; .Если же то получаем формулы для нахождения координат середины отрезка АВ:
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 325; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!