Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка

Центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.

Асимметрия и эксцесс

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

где .

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна (рис. 10, а), если слева — отрицательна (рис. 10, б).

Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой — эксцессом.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством

где .

Для нормального распределения ; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11, а); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11,б). При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Распределение «хи квадрат»

Пусть X_i,(i = 1, 2, ..., п) — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице: X_i ~ N(0, 1). Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону c²(«хи квадрат») с k = n степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k = n - 1.

Плотность этого распределения

где - гамма-функция; в частности,

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром - числом степеней свободы k. Обозначение X ~ c²(k) С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента

Пусть Z – нормальная нормированная случайная величина Z ~ N(0, 1), а V - независимая от Z величина, которая распределена по закону c² с k степенями свободы V~ c²(k). Тогда величина

имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Обозначается T ~ t(k).

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 416; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!