Нахождение функции распределения
По известной плотности распределения
Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(х) по формуле
.
Свойства плотности распределения
Свойство 1. Плотность распределения - неотрицательная функция:
f(x) > 0.
График плотности распределения называют кривой распределения.
Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -¥ до +¥ равен единице:
.
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу
(а, b), то
.
Закон равномерного распределения вероятностей
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение:
Функция равномерного распределения:
Графики плотности и функции равномерного распределения изображены на рисунках.
Обозначается X~R(a,b).
Числовые характеристики непрерывных
Случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл:
(*)
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то
.
Дисперсией НСВ называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [a, b], то
|
|
|
,
если возможные значения принадлежат всей оси х, то
.
Среднее квадратическое отклонение НСВ определяется, как и для величины дискретной, равенством
.
Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для непрерывных величин.
Для вычисления дисперсии используют более удобные формулы:
,
.
Пример. Найти математическое ожидание н дисперсию НСВ X, распределенной равномерно в интервале (а, b).
Решение.
.
.
Замечание. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1), т. е. если а = 0, b = 1, как следует из примера, соответственно равны 
, 
.
Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
.
Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и s. Можно показать, что а есть математическое ожидание, s - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и s (s> 0). Обозначается X ~ N(a, s). Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1: X ~ N(0, 1).
|
|
|
Плотность нормированного распределения
.
Эта функция табулирована.
Функция F(х) общего нормального распределения X ~ N(a, s):
,
а функция нормированного распределения X ~ N(0, 1):
.
Функция Ф(x) табулирована.
Нормальная кривая
График плотности нормального распределения X ~ N(a, s) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
|
Заметим, что при а = 0 и s = 1 нормальную кривую называют нормированной.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 289; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!