Дискретные и непрерывные случайные величины
Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, . . ., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а, b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.
Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Замечание. Настоящее определение непрерывной случайной величины не является точным. Более строгое определение будет дано позднее.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
|
|
|
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их - различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величиныназывают соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
| X | x1 | x2 | … | xn |
| p | p1 | p2 | … | pn |
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = xl, X = x2, ..., X = хn образуют полную группу несовместных событий; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:
Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
|
|
|
Решение. Напишем возможные значения X: x1 = 50, х2 = 1, х3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р1 = 0,01, р2 = 0,1, p3 = 1- (р1 + Р2) = 0,89.
Напишем искомый закон распределения:
| X | 50 | 1 | 0 |
| p | 0,01 | 0,1 | 0,89 |
Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi, рi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Биномиальное распределение
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х1 = 0, x2 = l, x3 = 2, ..., хn+1 = n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
|
|
|
, (*)
где k = 0, 1, 2, .... n.
Эта формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
.
Таким образом, первый член разложения рn определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в п независимых испытаниях; второй член npn-1q определяет вероятность наступления события п - 1 раз; ...; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биномиальный закон в виде таблицы:
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 376; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!