Исследование поведения функции и



Построение их графиков.

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Функция у=f(х)называется возрастающей (убывающей)в неко­тором интервале, если большему значению аргумента из этого интер­вала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. Е. при x1<x2 выполняется неравенство

f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).

Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.

1. Если дифференцируемая функция у=f(х) на oтрезке [а; b] воз­растает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. Е.  f'(х) 0(f' (х)  0).

2. Если непрерывная на отрезке [а; b] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Функция y=f(х)называется неубывающей (невозрастающей)в некотором интервале, если для любых x1<x2 из этого интервала

f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)).

Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функций, Характер монотон­ности функции может изменяться только в тех точках ее области опре­деления, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Точка x1называется точкой локального максимума функции у=f(x), если для любых достаточно малых | | 0 выполняется нера­венство f(x1+ )<f(x1). Точка x2называется точкой локального ми­нимума функции у=f(х), если для любых достаточно малых | | 0 справедливо неравенство f(x2+ )>f(х2). Точки максимума и мини­мума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.

Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Еслифункция. У=f(х) имеет в точке х=х0 экстремум, то либо f'(х0)=0, либо f'(х0) не существует.

В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна в некотором интервале, содержа­щем критическую точку х=х0 и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если f'(х) при х<х0 положительна, а при х>х0 отрицательна, то при х=х0 функ­ция у=f(х) имеет максимум. Если же f '(х) при х<х0 отрицательна, а при х>х0 положительна, то при х=х0 данная функция имеет минимум.

Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выпол­няться в достаточно малoй окрестности критической точки х=х0. Схема исследования функции у=f(х) на экстремум с помощью первой произ­водной может быть записана в виде таблицы.

Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции).Пусть функция у=f(х) дважды дифференцируема и f'(х0)=0. Тогда в точке х=х0 функция имеет локальный максимум, если f»(х0)<0, и локальный минимум, если f «( х0)>0.

В случае, когда f»(х0)=0, точка х= х0 может и не быть экстремальной..

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 269; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!