Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой
И плоскости в пространстве.
Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей
, (1)
пересекающихся по этой прямой.
Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой. Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, по этому используют специальный вид уравнения прямой. 
Пусть дана прямая L и ненулевой вектор 
лежащий на данной прямойили параллельно ей. На прямой L возьмем точку M 
тогда уравнение этой прямой можно записать следующим образом
(2)
Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.
От канонических уравнений прямой, введя параметр легко можно перейти к параметрическим уравнением:
(3)
Пусть заданы две прямые каноническими уравнениями.
и 
При любом расположении этих прямых в пространстве, один из двух углов между ними равен углу 
между их направляющими векторами 
. Угол можно вычислить по формуле
(4)
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве имеют следующий вид
(5)
(6)
Рассмотрим теперь взаимное расположение прямой 
и плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
(7)
Условием параллельности прямой и плоскости является условие
(8)
а условием перпендикулярности прямой и плоскости
(9)
Задания на контрольную работу № 1
№№1.1-1.30.Даны числа a, b и матрицы А, В, С. Найдите 
.
|
|
|
1.1. 
, 
1.2. 
, 
1.3. 
, 
1.4. 
, 
1.5. 
, 
1.6. 
, 
1.7. 
, 
1.8. 
, 
1.9. 
, 
1.10. 
, 
1.11. 
, 
, 
1.12. 
, 
, 
1.13. 
, , 
1.14. 
, , 
1.15. , 
, 
1.16. 
, 
, 
1.17. 
, , 
1.18. 
,
,
,
,
.
1.19. , , 
, 
, 
.
1.20. , , 
, 
, 
.
1.21. , , 
, 
, 
.
1.22. , , 
, 
, 
.
1.23. , , 
, 
, 
.
1.24. , , 
, 
, 
.
1.25. , , 
, 
, 
.
1.26. , , 
, 
, 
.
1.27. , , 
, 
, 
.
1.28. , , 
, 
, 
.
1.29. , , 
, 
, 
.
1.30. , , 
, 
, 
.
№№ 2.1-2.30. Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера и методом обратной матрицы.
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
;
2.4. 
; 2.5. 
; 2.6. 
;
2.7. 
; 2.8. 
; 2.9. 
;
2.10. 
; 2.11. 
2.12. 
№№ 3.1-3.30.Решите систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Найдите общее, базисное и частное решения системы.
3.1. 
; 3.2. 
;
3.3. 
; 3.4. 
;
3.5. 
; 3.6. 
;
3.7. 
; 3.8. 
;
3.9. 
; 3.10. 
;
3.11. 
; 3.12. 
;
3.13. 
; 3.14. 
;
3.15. 
; 3.16. 
;
3.17. 
; 3.18. 
;
3.19. 
; 3.20. 
;
3.21. 
; 3.22. 
;
3.23. 
; 3.24. 
;
3.25. 
; 3.26. 
;
3.27. 
; 3.28. 
;
3.29. 
; 3.30. 
№№ 4.1-4.30. Даны координаты вершин пирамиды 
. Найдите:
1) длину ребра 
;
2) угол между ребрами и 
;
3) уравнения прямой ;
|
|
|
4) уравнение плоскости 
.
4.1. 
, 
, 
;
4.2. 
, 
, 
;
4.3. 
, 
, 
4.4. 
, 
, 
4.5. 
, 
, 
;
4.6. 
, 
, 
;
4.7. 
, 
, 
;
4.8. 
, 
, 
;
4.9. 
, 
, 
;
4.10. 
, 
, 
;
4.11. 
,
,
, 
;
4.12. 
, 
, 
, 
;
4.13. 
, 
, 
, 
;
4.14. 
, 
, 
, 
;
4.15. 
, 
, 
, 
;
4.16. 
, , 
, 
;
4.17. 
, 
, 
, 
;
4.18. 
, 
, 
, 
;
4.19. 
, 
, 
, 
;
4.20. 
, 
, 
;
4.21. 
, 
, 
, 
;
4.22. 
, 
, 
, 
;
4.23. 
, 
, 
, 
;
4.24. 
, 
, 
, 
;
4.25. 
, 
, 
, 
;
4.26. 
, 
, 
, 
;
4.27. 
, 
, 
, 
;
4.28. , 
, , 
;
4.29. 
, 
, 
, 
;
4.30. 
, 
, 
, 
.
№№ 5.1- 5.30 Даны координаты вершин треугольника АВС.
1. Составьте уравнения сторон треугольника.
2. Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество
всех точек треугольника АВС.
3. Сделайте чертеж.
5.1. 
, 
, 
5.2. 
, 
5.3. 
, 
, 
; 5.4. 
, 
, 
5.5. 
, 
; 5.6. 
, 
5.7. 
, 
5.8. 
, 
5.9. 
, 
5.10. 
, 
5.11. 
5.12. 
5.13. 
5.14. 
5.15. 
5.16. 
5.17. 
5.18. 
5.19. 
5.20. 
5.21. 
5.22. 
5.23. 
5.24. 
5.25. 
5.26. 
5.27. 
5.28. 
5.29. 
5.30. 
.
Пример решения заданий контрольной работы №1
Задание №1
Найдите , если 
, 
, 
, 
Решение:
аналогично
Задание №2
a)Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
.
Вычислим определитель системы 
|
|
|
Вычислим определители D1, D2, D3, заменяя в определителе D элементы первого, второго и третьего столбцов соответственно элементами столбца из свободных членов.
.
Таким образом,
, х2= 
, 
.
Итак,
х1=1, х2=6, х3=5.
b) Решить систему уравнений матричным методом:
. Имеем: А= 
, Х= 
, Н= 
.
, 
.
Для нахождения обратной матрицы А-1вычисляем все алгебраические дополнения элементов матрицы А:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Составляем обратную матрицу (1.4):
.
Тогда
.
Таким образом, х1=1, х2=6, х3=5.
Задание №3
Решить систему методом Жордана-Гаусса. Найти общее, частное и базисное решение системы.
Составляем расширенную матрицу системы и проводя элементарные преобразования над строками матрицы исключаем переменные в соответствующих этой матрице системах линейных уравнений. В результате преобразований исходная матрица сводится к трапецеидальному виду. Преобразуем расширенную матрицу системы:
Поясним сделанные преобразования:
1. Первую строку умножим последовательно на (- 2), (-3), (-4) и прибавим ко второй, третьей и четвертой строкам соответственно.
2. Вторую строку умножаем на (-1), (-2) и прибавим к третьей и четвертой строке соответственно.
3. Поменяем местами вторую и четвертую строчку.
|
|
|
4. Вторую строку умножаем на 2 и на (-3) и прибавим к первой и третьей строке соответственно. Удаляем четвертую – нулевую строку.
5. Третью строку умножаем на на (-1) и на (-3) и прибавляем ко второй и первой строке соответственно.
Используя последнюю матрицу, эквивалентную исходной, получаем равносильную систему уравнений следующего вида:
х1+ 
+1,2х4 = 1
х2+ +0,4х4 = 3
х3+ −1,4х4 =− 2.
Переменные х1, х2, х3 
назовём базисными, переменную х4 − свободной. Полагая х4=0, непосредственно находим базисное решение: х1=1, х2=3, х3=−2.При х4=5, получим частное решение: х3=5, х2=1, х1=−5. При х4= t, где t Î R, получим общее решение системы:
х1=1-1,2 t
х2=3-0,4 t
х3=-2+1,4 t.
Задание №4
Даны координаты вершин пирамиды
.
Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) уравнения прямой А1А2;
4) уравнение плоскости А1А2А3;
1) Найдем координаты вектора 
:
.
Длину вектора А1А2 найдем по формуле:
.
2) Вектор уже найден. Найдем вектор 
:
.
Скалярное произведение векторов 
и 
найдем по формуле:
.
Косинус угла 
между векторами и найдем по формуле:
, 
.
3) Составим уравнения прямой А1А2, где 
. Воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две точки 
и 
: 
.
Принимая за точки 
и 
соответственно 
и 
, получим: 
.
Таким образом, 
— уравнения прямой 
.
4) Составим уравнение плоскости 
:
Пусть точка 
принадлежит плоскости . Рассмотрим векторы 
и найдем их координаты:
, 
, 
.
Так как данные вектора компланарны, то их смешанное произведение 
. Поэтому
Сократив на (26), получим уравнение 
. Это и есть уравнение плоскости 
.
Задание №5
Даны вершины треугольника 
: 
. Найти:
а) уравнения сторон треугольника;
б) систему неравенств, областью решений которой является множество точек, лежащих внутри и на границе треугольника.
Сделаем чертеж
|
|
а) Составим уравнения сторон треугольника 
. Воспользуемся уравнением: 
.
Так как точки 
принадлежат прямой АС, то
и 
— уравнение прямой АС.
Так как точки 
принадлежат прямой ВС, то
, и
— уравнение прямой ВС.
Аналогично найдем уравнение прямой АВ: 7х+3у+5=0
б) Рассмотрим уравнение 
. Этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на прямой АВ. Начало координат, т.е. точка О(0,0) лежит внутри треугольника АВС и координаты точки О(0,0) удовлетворяют неравенству 
, так как 
. Поэтому и координаты всех точек, лежащих с той же стороны от прямой АВ, что и точка О, будут удовлетворять неравенству .
Уравнению 
удовлетворяют точки, лежащие на прямой АС. Координаты точки О(0,0) удовлетворяют неравенству 
, так как 0<3. Следовательно и все точки, лежащие с той же стороны от прямой АС, что и точка О будут удовлетворять неравенству 
.
Уравнению 
удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой ВС. Координаты точки О(0,0) удовлетворяют неравенству 
, так как 
. Поэтому координаты всех точек, лежащих с той же стороны от прямой ВС, что и точка О(0,0), будут удовлетворять неравенству .
Таким образом, координаты точек, лежащих как внутри треугольника АВС, так и на его границах будут удовлетворять системе неравенств:
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 293; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!