Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций
Широко используются следующие два предела
1) 
2) 
,
которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.
Если 
(т. Е. для любого 
>0 существует число 
>0, такое что при 0< 
< справедливо неравенство 
< ), то 
называется бесконечно малойфункцией или величиной при х 
.
Для сравнения двух бесконечно малых функций и 
при х находят предел их отношения
(1)
Если С 
0, то и называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка;если С=0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с .
Если 
(0< 
< 
), 
то называется бесконечно малойпорядка k, по сравнению с при х .
Если 
, то бесконечно малые и при х называются эквивалентными(равносильными) величинами и обозначают ~ .
Например, при х 
~ 
, 
~ х, 
~ х, 
—1~ ..
Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при х равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций 
и 
при х , т.е. верны предельные равенства
Непрерывность функции. Классификация
Точек разрыва функции.
Функция у=f(х)называется непрерывной при х=x0 (в точке x0), если:
1) функция f(х) определена в точке x0и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции f(х)в точке x0;
3) этот предел равен значению функции в точке x0 , то есть
(2)
|
|
|
Если положить х=x0+ 
, то условие непрерывности (2) будет равносильно условию
т. Е. функция у=f(х)непрерывна в точке x0тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции 
.
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Точка x0, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрывафункции. Если в точке x0существуют конечные пределы f(x0-0) и f(x0 +0), такие, что f(x0-0) f(x0+0), то x0называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует или равен бесконечности, то точку x0называют точкой разрыва второго рода. Если f(x0-0)=f(x0 +0) и функция f(х)не определена в точке x0, то точку x0называют устранимой точкой разрыва функции.
Производная. Правила и формулы дифференцирования.
Напомним, что приращением функции у=f(х) называется разность 
, где - приращение аргумента х.
Из рисунка видно, что 
(1).
Предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента при произвольном стремлении кнулю называется производной функции у=f(х)в точкех и обозначается одним из следующих символов: у', f'(х), 
.
|
|
|
Рис. 1.
Таким образом, по определению
(2)
Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f(х)называют дифференцируемой в точке х,а операцию нахождения производной у' –дифференцированием.
Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла 
наклона касательной, проведенной в точке М(х, у), к графику функции у=f(х) (см. рис. 1).
Легко показать, что с физической точки зрения производная у'=f'(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.
Если С — постоянное число и и=и(х), v=v(x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (С)'=0;
2) (х)'.=1;
3) (и 
v)'=и' v';
4) (С и)'=С и'
5)(и v)'=и' v+иv';
6) 
;
7) 
;
8) если у=f(и)и u= 
(х), т. Е. y=f( (x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то
или 
;
9) если для функции у=f(х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и 
, то f'(х) = 
.
На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:
1) 
| 2) (  )' = lnа•u'
|
| 3) (еu)'=еu u' | 4) 
|
5) 
| 6) (sin u)’= соs uu’ |
| 7) (соs u)’=-sin u u’ | 8) 
|
9)  ;
| 10) (arcsin u)'= 
|
11) 
| 12) 
|
13) 
|
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке Мо(х0; f(х0))
|
|
|
Уравнениe нормалик кривой у=f(х)в точке Мо(х0; f(х0)):
При f/(х0)=0 уравнение нормали имеет вид х=х0.
Углом между кривыми в точке их пересеченияназывают угол между касательными к кривым в этой точке.
Логарифмической производной функции у=f(х)называется производная от логарифма этой функции, т. Е.
(ln f(x))’=f’(x)/f(x).
Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции у=иv, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле
у =иv ln и v' + v и v-1 и'.
Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F(х, у)=0, то для нахождения производной у'= 
в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у', найти производную.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 412; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!