Краткие теоретические сведения для выполнения контрольную работу № 2

"Дифференциальное исчисление"

Функция.

Если каждому элементу х D по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент у, то говорят, что задана функция y=f(x), где х называется независимой переменнойили аргументом.Множество D называется областью определения функции, а множество значений, принимаемых функцией у, называется областью ее значений(изменения)и обозначается буквой Е. В дальнейшем будем считать множества D и Е числовыми, т. Е. будем рассматривать числовые функции (если не оговорено противное). В качестве D и Е могут быть взяты отрезок [а; b],интервал (а; b),полуинтервалы (a; b]или [а; b),отдельные точки числовой оси, а также вся числовая ось (— ; + ).

Основными способами задания функций являются: табличный, графический, аналитический. При аналитической записи функции y=f(x) часто не указываются области D и Е, но они естественным образом определяются из свойств функции f(x).

Если функция y=f(x) осуществляет взаимно однозначное отобраоляе области D на область Е, то можно однозначно выразить х через у: х=g(у).Последняя функция называется обратнойпо отношению к функции у=f(х).Для функции x=g(y) множество Е является областью определения, а D — областью значений. Так как g(f(х)) х и f (g(у)) у, то функции у=f(х)и х= g(у) – взаимно обратные. Обратную функцию х=g(у)обычно переписывают в стандартном виде: у=g(х), поменяв х и у местами. Взаимно обратными являются пары функций: у=х³и у= , у=2^х и у = log₂ х, у=sinх и у=arcsin x, для которых области определения соответственно следующие: х (- ;+ )и х (— ;+ ), х (- ;+ ) и х (0; + ), х (- ;+ ) и х [-1; +1].

Если функция u= (x) определена на области D, G — ее область значений, функция у=f(u) определена на области G, то функция у=f( (х))=F(х)называется сложной функцией,составленной из функций f и , или функцией f от функции .

Функцию у=f( (х)) называют композицией двухфункций у=f(u) и u= (x). Сложная фуниция может быть композицией большего числа функций: трех, четырех и т. Д.

Функции вида у=f(х)называются явными. Уравнение вида F(х, у)=0также задает, вообще говоря, функциональную зависимость между х и у. В этом случае по определению у является неявной функцией х.Например, уравнение у³+х³=8 определяет у как неявную функцию от х.

Графиком функции у=f(х)называется множество точек М(х, у)плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют функциональной зависимости у=f(х). Графики взаимно обратных функций у=f(х)и у=g(х)симметричны относительно биссектрисы х=у.

Предел функции. Основные теоремы о пределах

Число А называется пределом числовой последовательности {х_n}, если для любого >0 существует номер N=N( )>0, такой, что для всех п>N выполняется неравенство |х_п—A|< . Если А –предел последовательности {х_n}, то это записывается следующим образом

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся,в противном случае –расходящейся.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Тогда число А называется пределомфункции у=f(х) при х х₀ (в точке х=х₀), если для любого >0 существует = ( )>0, такое, что при 0 <|х—х₀|< справедливо неравенство |f(х)-А|< .

Если А – предел функции f(х) при х х₀, то записывают это так

В самой точке х₀функция f(х)может и не существовать (f(х₀) не определено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N( )>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|< .

Если существует предел вида , который обозначают также или f(х₀-0), то он называется пределом слева функции f(х)в точке x₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f(x₀+0)), то он называется пределом справафункции f(х)в точке x₀. Пределы слева и справа называются односторонними. Для существования предела функции f(х)в точке x₀необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀существовали и были равны, то есть f(x₀-0)=f(x₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i=1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х₀ = .

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида - , , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 257; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!