Частные производные и дифференцируемость
Функций нескольких переменных.
Пусть функция z=f(M)определена в некоторой окрестности точки М(x; у).Придадим переменной x в точке М произвольное приращение Δx, оставляя значение переменной y неизменным, т. Е. перейдем на плоскости от точки М (x; у)к точке M1 (x+ Δx; у). При этом Δx таково, что точка M1 лежит в указанной окрестности точки М. Тогда соответствующее приращение функции
Δxz= f (x+ Δx; у)- f (x; у)
называется частным приращением функции по переменной x в точке М (х; у). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y
Δyz= f (x; у+ Δy)- f (x; у).
Определение 1.Если существует предел
то он называется частной производной функции z=f(M) в точке М по переменной x (по переменной y) и обозначается одним из следующих символов:
Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.
Определение 2.Полным приращением функции z=f(M) в точке М(x; y), соответствующим приращениям Δx и Δy переменных x и y, называется функция
Δz= f (x+Δx; у+Δy)- f (x; у).
Определение 3.Функция z=f(M) называется дифференцируемой в точке M, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
где A и B – некоторые не зависящие от Δx и Δy числа, а α(Δx; Δy)и β(Δx; Δy) – бесконечно малые при Δx→0, Δy→0 функции.
|
|
|
Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.
Теорема 1.Если функция z=f(M) дифференцируема в точке M, то она непрерывна в этой точке.
Теорема 2.Если функция z=f(M) дифференцируема в точке M(x; y), то она имеет в этой точке частные производные 
и 
, причем
, 
Однако в отличие от функции одной переменной, существования частных производных не достаточно для дифференцируемости функции.
Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция z=f(M) имеет частные производные в некоторой δ-окрестности точки M и эти производные непрерывны в самой точке M, то функция дифференцируема в точке M.
Частные производные высших порядков
Далее можно определить частные производные высших порядков. Так производные от производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они определяются следующим образом
|
|
|
.
Частные производные вида 
называются смешанными частными производными. Возникает естественный вопрос о равенстве смешанных частных производных, однако это возможно при выполнении некоторых условий.
Теорема 4. Если производные существуют в некоторой δ-окрестности точки M(x; y) и непрерывны в самой точке M, то они равны между собой в этой точке, то есть имеет место равенство
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 307; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!