Методика измерения и экспериментальные установки

R ( ) = E_r ( ) / E₀ ( ),                                                                       (3)

T ( ) = E_t ( ) / E₀ ( )                                                                       (4)

называют амплитудными.

Коэффициенты отражения и пропускания являются безразмерными величинами и часто выражаются в процентах.

В соответствии с законом поглощения света Бугера-Ламберта интенсивность светового потока  на расстоянии х от освещённой поверхности полубесконечного образца выражается через коэффициент поглощения :

                                                               (5)

Коэффициент поглощения  имеет размерность обратной длины (см^-1). Зависимость коэффициента поглощения от длины волны называют спектром поглощения. Часто вместо зависимости от длины волны в спектрах отражения, пропускания и поглощения используют зависимости от волнового числа , частоты  или энергии  фотонов ( – постоянная Планка).

Указанные спектральные зависимости различны для разных полупроводниковых материалов и связаны с особенностями зонной структуры, концентрациями носителей заряда и примесей, характером процессов рассеяния носителей заряда. Это обстоятельство обуславливает принципиальную возможность изучения физических процессов и явлений в полупроводниках и измерения их важнейших параметров с помощью измерения их оптических свойств, в первую очередь спектров отражения и пропускания в широком интервале частот.

В полупроводниковых кристаллах удельная проводимость , диэлектрическая  и магнитная проницаемости являются функциями направления распространения волн относительно осей кристалла. Но если рассматривать оптические явления в кубических кристаллах или оптически изотропных материалах, то эти параметры можно считать скалярными величинами. Величины , ,  являются также функциями частоты падающего света. Практически для всех веществ (в том числе и для полупроводников) в области оптических частот с очень хорошей точностью можно принять .

В этом случае поведение электромагнитной волны в однородной изотропной проводящей среде описывается уравнениями Максвелла, имеющими в системе СИ следующий вид:

;                                                                                (6)

;                                                                        (7)

;                                                                                           (8)

,                                                                                           (9)

где e₀, m₀ – диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость вакуума; e, m – то же для исследуемой среды; – электропроводность среды. В правой части уравнения (8) стоит нуль. Это значит, что из рассмотрения исключаются особенности, связанные с возможностью существования в проводящих слоях областей пространственного заряда.

Решая систему уравнений Максвелла относительно вектора напряжённости электрического поля ,получим следующее выражение:

,                                                                (10)

где – оператор Лапласа.

Аналогичное уравнение получается и для вектора .  

Пусть электромагнитная волна, падающая на полупроводник, распространяется вдоль оси Х со скоростью  и является линейно-поляризованной в направлении оси Z. При таком выборе системы координат, так как E_у = E_х = 0, E 0, E = E , – и векторное уравнение превращается в скалярное и принимает следующий вид:

.                                                  (11)

Уравнение (11) полностью определяет функцию E_z(x, t), т.е. полностью описывает поведение вектора напряженности электрического поля линейно-поляризованной плоской монохроматической электромагнитной волны в однородной изотропной проводящей среде.

Этому уравнению и уравнениям Максвелла удовлетворяет выражение

 E = E  = E                         (12)

при условии, что

,                                                                 (13)

где величина  имеет смысл показателя преломления проводящей среды.

С учетом, что , соотношение (13) принимает вид:

.                                                                                 (14)

Выражение (14) показывает, что среда, обладающая отличной от нуля электропроводностью, характеризуется комплексным показателем преломления.

Обычно комплексный показатель преломления записывается в виде:

.                                                                                       (15)

 Сравнивая (14) с (15), получаем:

,                                                                                        (16)

.                                                                                        (17)

Подставляя выражение для  в виде  в соотношение (12), получаем окончательный вид функции E_z(x, t), описывающей поведение вектора напряженности электрического поля линейно-поляризованной плоской электромагнитной волны:

E = E = E .                                               (18)

В этой формуле сомножитель  выражает собой затухание волны. Таким образом, решение (18) волнового уравнения (12) с комплексным показателем преломления (15) описывает волну, распространяющуюся со скоростью , амплитуда которой затухает по экспоненциальному закону. Величина , определяющая скорость распространения волны, принято называть действительным показателем преломления, а  характеризует поглощение в среде и носит название показателя поглощения или коэффициента экстинкции. Эти величины также зависят от частоты падающего света и их измерения столь же важны для изучения физических процессов и явлений в полупроводниках.

Энергия, или интенсивность электромагнитной волны , очевидно, пропорциональна квадрату её амплитуды, т.е.

 I ~E E * = E .                                                                       (19)

Сравнение соотношений (5) и (19) позволяет установить взаимосвязь между величинами  и . Как видно,

,                                                        (20)

где  длина волны света в вакууме.

,                                                                                      (21)

а также с учётом выражения (14) имеем:

.                                                                                  (22)

Сравнивая (21) и (22) и с учётом (16) и (17), получаем:

,                                                                                  (23)

.                                                                                 (24)

Поляризация света

Cвет характеризуется также поляризацией. Поляризация – общее свойство всех типов векторных волн. Этим свойством обладают электромагнитные волны, а так же, например, упругие и спиновые волны в твердых телах. Для всех типов векторных волн поляризация характеризует поведение во времени одного из векторов поля, связанного с данной волной, наблюдаемое в некоторой фиксированной точке пространства. Световые волны имеют электромагнитную природу, так что для их полного описания требуется 4 основных полевых вектора: напряженность электрического поля , электрическое смещение , напряженность магнитного поля  и индукция магнитного потока . Из этих четырех векторов для определения состояния поляризации световых волн выбран вектор напряженности электрического поля . Такой выбор объясняется тем, что при взаимодействии света с веществом сила, действующая на электроны, с точностью до пренебрежимо малой поправки определяется именно электрическим полем световой волны. Вообще, если поведение Е определено, то поведение трех оставшихся векторов поля ,  и  может быть найдено, так как , ,  и  связаны между собой полевыми уравнениями Максвелла и материальными уравнениями. В дальнейшем мы будем считать, что поляризация света полностью определяется изменением во времени t вектора напряженности электрического поля , наблюдаемого в фиксированной точке пространства .

Электромагнитная волна является поперечной и плоскость ее колебаний перпендикулярна направлению ее распространения. Принято плоскость, в которой колеблется электрический вектор, называть плоскостью колебаний. Электромагнитная волна, у которой направления колебаний векторов  и  строго фиксированы, называется линейно или плоско поляризованной волной (рис.1).

Для описания поляризационных явлений, векторов  обычно раскладывают на две компоненты  и , где индекс  определяет колебания, параллельные плоскости падения света, а индекс  – перпендикулярные ей (рис.2).

Гармонические колебания векторов  и во времени описываются уравнениями:

                                                                 (25)

где  и – амплитуда колебаний,  – начальная фаза,  – цикли­чес­кая частота .

Рис. 2. Плоскость колебания вектора Е Рис. 3. Плоскость падения света

В зависимости от соотношения между величинами  и  и  электромагнитная волна имеет тот или иной тип поляризации. Например, при  свет является линейно поляризованным, т.е. решение системы уравнений (1) есть уравнение прямой линии в плоскости колебания (рис.4, а), и направления колебании вектора  постоянны по времени и в пространстве. Если брать  и , то в этом случае поляризация циркулярная (рис. 4, б) т.е. решение системы уравнения (1) есть уравнение окружности в плоскости колебания. В общем случае решение системы уравнения (1) можно представить в виде:

. (26)

Уравнение (26) описывает эллипс, называемый эллипсом поляризации (рис. 4, в), т.е. конец электрического вектора описывает эллиптическую винтовую линию, навертывающуюся на эллиптический цилиндр совпадающий с направлением распространения света. Таким образом, эллиптически поляризованный свет является суперпозицией двух ортогональных плоских волн  и , имеющих различные амплитуды и фазы колебания.

Рис. 4. Виды поляризации волны: а – линейная;

б – круговая; в – эллиптическая

Эллипс поляризации принято характеризовать двумя угловыми величинами  и , называемыми поляризационными углами, которые определяются из условий:

,                                                                         (27)

. (28)

Отражение поляризованного света слоистыми планарными структурами

При переходе световой волны из одной среды в другую на границе раздела этих сред происходит разделение падающей волны на отраженную и преломленную. Различают два вида отражения: зеркальное и рассеянное. Зеркальное отражение наблюдается в том случае, когда размеры неоднородности структуры отражающей поверхности много меньше длины волны падающего излучения и пространственный угол, в пределах которого распространяется падающее излучение, сохраняется после отражения. В случае, когда размеры неоднородности структуры сравнимы с длиной волны, происходит рассеянное отражение. В дальнейшем будем считать, что на границе раздела сред происходит зеркальное отражение.

а) Отражение на плоской границе между изотропными средами

Рассмотрим отражение и пропускание плоской световой волны, наклонно падающей на плоскую границу между двумя полубесконечными однородными оптическими изотропными средами 0 и 1 с комплексными показателями N₀ и N₁ (рис. 1).

Предполагается, что изменение показателя преломления на границе раздела происходит резко (резкая граница). Волна, падающая из среды 0, приводит к возникновению отражённой волны в той же среде и прошедшей (или преломлённой) волны в среде 1. Амплитуды отражённой и прошедшей волн целесообразно определить через амплитуды p и s компонент падающей волны. Это вызвано тем, что произвольную падающую волну всегда можно разложить на p- и s-компоненты, каждая из которых рассматривается отдельно, и затем объединить результаты. Пусть (Е_0р, Е_0s), (Е_гр, Е_rp) и (Е_tp, Е_ts) представляют собой комплексные амплитуды компонент электрических векторов падающей, отражённой и прошедшей волн в точках непосредственно над и под границей раздела. Сопоставление тангенциальных компонент полей E и H на границе раздела ведёт к следующим формулам:

,                                         (29)

,                                              (30)

,                                   (31)

.                                          (32)

Эти формулы определяют френелевские коэффициенты отражения (r) и пропускания (t) для p- и s- компонент напряжённостей электрического поля.

Чтобы исследовать влияние отражения и преломления (пропускания) на амплитуду и фазу волны по отдельности, запишем комплексные френелевские коэффициенты в виде:

,                                                                                               (33)

,                                                                                                (34)

,                                                                                               (35)

.                                                                                                (36)

Величины |r_p|, |r_s|, |t_p|, |t_s| дают отношения амплитуд колебаний электрических векторов отражённой и прошедшей волн к амплитуде падающей волны, когда последняя поляризована параллельно или перпендикулярно плоскости падения. Величины ,  представляют собой фазовые сдвиги при отражении и преломлении, которые претерпевают электрические колебания, параллельные плоскости падения. Аналогичный смысл имеют  и  для колебаний, перпендикулярных плоскости падения.

б) Отражение и пропускание в системе среда-плёнка-подложка

Значительный интерес представляет ситуация, при которой поляризованный свет отражается от подложки, покрытой одной однородной плёнкой, или проходит через такую систему (рис, 2).

Предположим, что плёнка является плоскопараллельной, имеет толщину d и расположена между полубесконечной внешней средой и полубесконечной подложкой (рис 2). Внешняя среда (среда 0), плёнка (среда 1) и подложка (среда 2) характеризуются комплексными показателями N_0, N_1, N₂. В большинстве случаев внешняя среда прозрачна и N₀ действительная величина, т.е. равна n.

Задача состоит в том, что нужно установить связь между комплексными амплитудами результирующих (отражённой и прошедшей) волн с амплитудой падающей волны, когда последняя линейно поляризована параллельно (р) или перпендикулярно (s) плоскости падения. Методика расчёта, предложенная Друде, основана на физической картине, показанной на рис. 6.

Если френелевские коэффициенты отражения и пропускания на границах 0 и 1 (1-0) и 1-2 обозначить через r₀₁, t₀₁ (r₀₁ t₁₀), и r₁₂, t₁₂ соответственно, то комплексные амплитуды парциальных плоских волн, которые образуют результирующую отражённую волну в среде 0, имеют значения r₀₁, t₀₁ t₁₀r₁₂exp(-i2β), t₀₁t₁₀r₁₂exp(-i4β), t₁₀r₁₂exp(-i6β)..., тогда как комплексные амплитуды парциальных волн, дающих результирующую волну, прошедшую в среду 2, имеют значения t₀₁t₁₀r₁₂exp(-iβ), t₀₁t₁₀r₁₂exp(-i3β), t₀₁t₁₀r₁₂exp(-i5β)…, где β - изменение фазы, которое приобретает многократно отражённая в плёнке волна при однократном прохождении между границами 0-1 и 1-2. Фазовый угол β (фазовая толщина плёнки) может быть выражен через длину волны в вакууме, толщину плёнки, комплексный показатель преломления плёнки N₁ и угол преломления в плёнке φ₁:

 β = 2(d/λ)N₁ cos φ₁                                                                                       (37)

или при использовании закона Снеллиуса

β = 2(d/λ)(N₁ – N sin φ_о.                                                                              (38)

В приведённом выше рассуждении предполагается, что падающая волна имеет единичную амплитуду и р- или s- поляризацию (для простоты у всех коэффициентов индекс р или s был опущен, но далее он будет восстановлен).

Складывая парциальные волны, получаем бесконечную геометрическую прогрессию, определяющую полную амплитуду R отражённой волны:

 R = r_о + t_о1t_1оr₁₂exp(-i2β) + t_о1t_1оr₁₂exp(-i4β) + t_о1t_1оr₁₂exp(-i6β) +…            (39)

Суммирование этого ряда даёт

                                                                   (40)

или

,                                                                       (41)

где сделаны подстановки r₀₁= - r_1о и t_о1t_1о.= 1 – r_о1².

Эти соотношения справедливы, если падающая волна линейно поляризована параллельно (р) или перпендикулярно (s) плоскости падения. Таким образом, мы можем восстановить информацию о поляризации, добавив индексы р и s в выражения (40) и (41):

;                                                                        (42)

,                                                                        (43)

где β имеет одинаковые значения для р- и s- поляризаций и определяется выражением (37) или (38), а френелевские коэффициенты отражения на грaницах 0-1 и 1-2 определяются формулами, которые легко получить из соотношений (29)-(32)

,                                                        (44)

,                                                              (45)

,                                                              (46)

,                                                              (47)

Три угла φ₀, φ₁ и φ₂ между направлениями распространения волн в средах 0, 1 и 2 и нормалью к границам плёнки связаны между собой законом Снеллиуса:

N_оsinφ_о = N₁sinφ₁ = N₂sinφ_{2 .}                                                                                                             (48)

Чтобы по отдельности изучить изменение амплитуды и фазы при отражении волны от системы среда-плёнка-подложка, целесообразно выразить полные комплексные амплитудные коэффициенты отражения (R_p, R_s) через их модули и фазовые сдвиги:

;                                                                                           (49)

;                                                                                            (50)

 Величины R_p и Δ_rp количественно характеризуют изменение амплитуды и фазовый сдвиг при отражении р-поляризованного света системой среда-плёнка-подложка. Для случая s-поляризации величины R_s и Δ_rs имеют тот же смысл.

Наиболее точным и надежным экспериментальным методом измерения изменений состояния поляризации, т.е. изменений углов  и  при отражении света от поверхности, а значит и оптических характеристик, является эллипсометрический.

Эллипсометрия

Под термином "эллипсометрия" понимается раздел оптики, предметом которого является: 1) разработка методов описания и измерения состояния поляризации светового пучка и тех изменений этого состояния, которые наблюдаются при отражении светового пучка от любой отражающей системы; 2) исследование строения и определения параметров отражающей системы путем анализа изменений состояния поляризации светового пучка при отражении.

а) Основное уравнение эллипсометрии

Пусть на поверхность отражающей системы, представляющей собой полубесконечную среду с плоскопараллельными слоями на ней (рис. 7), падает плоская монохроматическая электромагнитная волна, поляризованная эллиптически с параметрами  и  (рис. 5, а).

Рис. 7. Отражение плоской монохроматической

электромагнитной волны от однородной полубесконечной среды

с однородными плоскопараллельными слоями на ней

При отражении изменяется состояние поляризации волны, и его поляризационные углы становятся равными  и  (рис. 5, б). Очевидно, что степень изменения поляризационных углов характеризует оптические свойства отражающей системы. Величину этих изменений принято обозначать  и  и определять как:

;                                                                                (51)

.                                                                                               (52)

Рис. 8. Поляризационный эллипс падающей (а) и отраженной (б) волн

Обратим теперь внимание на то, что (см. рис. 8)

 (53) и  .                                                (54)

С учётом соотношений (53) и (54) выражение (51) принимает вид:

.                                  (55)

Амплитуды , Е⁰_0s,  и  в общем случае комплексны, и целесообразно выразить их через их модули и фазы:

;                                                                                        (56)

;                                                                                    (57)

;                                                                                   (58)

,                                                                                  (59)

где  – начальная фаза соответствующей волны.

Поделив (58) на (56) и (59) на (57), получим выражения для комплексных коэффициентов отражения:

;                                                                                          (60)

,                                                                                           (61)

где  и – разности фаз между фазами падающих и отраженных волн.

Из выражений (60) и (61) найдем отношение модулей коэффициентов отражения

,                                                                                          (62)

где

.                                                                                              (63)

С учетом (62) из (51) получаем

 .                                                                                           (64)

Уравнение (64) называется основным уравнением эллипсометрии.

 Из (64) видно, что относительный коэффициент отражения  представляет как раз ту величину, которая описывает изменение состояния поляризации света в результате отражения. Коэффициенты отражения R_p и R_s являются функциями оптических постоянных отражающей системы, толщин плоскопараллельных слоёв, а также угла падения света на систему (φ₀) и длины волны (λ). Следовательно, находя величины R_p и R_s для конкретной отражающей системы, с помощью уравнения (64), устанавливаем связь поляризационных углов  и  с оптическими постоянными и толщинами плоскопараллельных слоёв этой системы, а также с углом падения света на систему (φ₀) и длиной волны (λ).

Комплексное уравнение (64) можно представить в виде двух действительных уравнений:

tg cos  = ф₁;                                                                                           (65)

tg sin  = ф₂ ,                                                                                      (66)

где            

ф₁ = Re R_p/R_s ,    ф₂ = Im R_p/R_s .                                                            (67)

Измеряя углы  и  и решая совместно уравнения (65) и (66), можно определить два любых неизвестных параметра отражающей системы. В принципе при определённых условиях путём вариации, например, угла падения  можно определить более двух неизвестных параметров отражающей системы.

При исследовании отражающих систем методом эллипсометрии приходится решать следующие три основные задачи:

1) Вычисление поляризационных углов  и  на основе той или иной модели отражающей системы, характеризующейся определённым набором параметров;

2) Экспериментальное определение поляризационных углов  и  исcледуемой отражающей системы;

3) Сравнение вычисленных значений поляризационных углов  и  (для набора моделей отражающих систем при изменении одного или нескольких параметров этих моделей) с экспериментальными значениями углов  и , полученными при изменении тех же параметров реальной отражающей системы, и выбор модели, адекватной исследуемой отражающей системе.

После того как адекватная модель исследуемой системы установлена, эллипсометрия может быть применена для контроля параметров этой системы, исследования изменений этих параметров под влиянием тех или иных внешних воздействий и т.д.

Для решения этих задач необходимо делать некоторые упрощающие предположения относительно свойств самих отражающих систем, а также свойств оптических элементов и светового пучка эллипсометра. Эти упрощения чаще всего сводятся к следующему.

1. В отражающих системах все границы раздела – геометрические поверхности. В действительности граница раздела между двумя различными средами представляет собой не геометрическую поверхность, а некоторый слой. Однако во многих случаях, когда толщина переходного слоя сравнима с междуатомными расстояниями, нет необходимости учитывать этот слой.

2. Все оптические элементы эллипсометра (прибора предназначенного для измерения поляризационных углов  и  отражающей системы) идеальные. Предполагается, что свет проходит через оптические элементы (компенсатор, поляризационные призмы) без потерь на отражения. Это упрощает описание самих элементов и устраняет паразитные световые пучки между элементами, способные вносить искажения в результаты измерения параметров отражающих систем.

3. Реальный световой пучок заменяется плоской монохроматической электромагнитной волной, т.е. игнорируются такие его свойства, как немонохроматичность и сходимость. Такая идеализация позволяет наиболее просто проанализировать измерительные схемы эллипсометра и упростить интерпретацию экспериментальных результатов.

б) Основное уравнение эллипсометрии для трехслойной системы

В большинстве случаев при интерпретации результатов эллипсометрических измерений может быть использована модель идеальной оптической изотропной трехслойной системы среда-пленка-подложка (рис. 5).

Подставив в (64) значения Rp и Rs для трехслойной системы из (42) и (43) получим, что

 ,                                 (68)

где френелевские коэффициенты отражения на границах среда-пленка
(r_op, r_0s) и пленка-подложка (r_12p, r_12s) определяются формулами (40-47), а фазовая толщина пленки β – выражением (38).

Соотношение (68) связывает измеряемые эллипсометром углы y и Δ с оптическими свойствами трехслойной системы – с комплексными показателями преломления N₀, N₁, N₂, толщиной пленки d, углом падения φ₀ и длиной волны λ. Функциональную зависимость эллипсометрических углов y и Δ от параметров системы можно символически записать в виде

,                                                    (69)

где – определяется правой частью соотношения (68).

Функция r_r довольно сложная, т.к. она зависит от девяти аргументов и её удается удовлетворительно проанализировать только с помощью ЭВМ.

Если падающая и отраженная волны распространяются в однородной прозрачной среде ( ) и пленка тоже прозрачна ( ) выражение (68) принимает вид:

.                                  (70)

Зависимость поляризационных углов  и  от толщины пленки d, дли-

ны волны света λ и угла падения φ₀ на исследуемую систему проявляется через величину:

.                                                           (71)

Отсюда следует, что для прозрачной пленки поляризационные углы  и являются периодическими функциями толщины пленки d с периодом, определяемой из условия δ₁ =p

.                                                      (72)

Если пленка поглощает (k₁ ≠ 0) поляризационные углы  и не являются периодическими функциями толщины d. Поэтому поляризационные углы  и однозначно определяют толщину пленки в широких пределах. При графическом способе экспериментально измеренные точки (  и ) попадают на кривую, указывая на соответствующее значение d.

в) Отражение от однородной полубесконечной среды

При отражении от подложки с атомарно-чистой поверхностью, т.е. при dà0 основное уравнение эллипсометрии (70) переходит в уравнение:

tgye^iΔ = r_02p/r_02s ,                                                                                  (73)

где r₀₂ и r₀₂ – коэффициенты отражения Френеля для p- и s- компонент, относящиеся к границе сред ε₀ и ε_2.

После преобразований получим выражения для оптических постоянных n₂ и k₂ отражающей среды:

 ;                         (74)

.                                   (75)

Для нахождения n₂ и k₂ в формулы (74) и (75) необходимо подставить экспериментальные значения n₀, φ₀ и , .

Вэллипсометрии используется комплекс программ, для проведения численных (модельных) экспериментов и обработки результатов эллипсометрических измерений на реальных окружающих системах.

Указания по использованию этих программ содержится в [12].         

Мы поможем в написании ваших работ!